热门试卷

解：如图，以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立

空间直角坐标系O-xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，λ），

设P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，

则=（-1，0，x），=（-1，1，x-λ）

因为A1P⊥平面PBD，所以A1P⊥PB

所以，

即（-1，1，x-λ）•（-1，0，x）=0，

化简得x2-λx+1=0，x∈[0，λ]，

故判别式△=λ2-4≥0，且λ＞0，

解得λ≥2．

（I）证明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，

又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，

∴DC∥平面ABE                                …..（4分）

（II）证明：∵DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC

∴DC⊥AF，

又∵AB=AC，F是BC的中点，

∴AF⊥BC，

又∵DC∩BC=C，DC⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，

∴AF⊥平面BCDE                                     …..（8分）

（III）解：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，

∴DC∥EB，且四边形BCDE为直角梯形                    …..（9分）

∵在△ABC中，∠BAC=，AB=AC=2，F是BC的中点

∴BC=，…..（11分）

∵由（II）可知AF⊥平面BCDE

∴几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积

∴==2    …..（13分）

解：（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．

设圆柱的高为h（cm）．因为工艺品的体积为34πcm3，所以，

所以，所以工艺品的表面积为

=

=

由x＞0且h=，得0

所以S关于x的函数关系式是S=17π，

（2）由（1）知，令S‘=0，得x=1．

当0＜x＜1时，S'＜0，所以S关于x∈（0，1]是单调减函数；

当1＜x＜时，S'＞0，所以S关于x∈是单调增函数．

所以，当x=1时，S取得最小值=51π，此时h=4．

答：按照圆柱的高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，半球的半径为3cm设计，工艺品的表面积最小，为51πcm2．

解：根据几何体和柱体、椎体、台体和球体的结构特征得，

（1）（8）为球体，（2）为圆柱体，（3）为圆锥体，（4）为圆台体，（5）为棱锥体，

（6）为棱柱体，（7）为两棱锥的组合体．

解：（Ⅰ）∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，

∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，

∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC．（2分）

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则

A（0，-1，0），B（，0，0），A1（0，0，），

C（0，1，0），；

∴．（4分）

设平面AB1C的法向量为=（x，y，1）

则，

解得=（-1，0，1）．（6分）

由cos＜＞=．

而侧棱AA1与平面AB1C所成角，

即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为．（6分）

（Ⅱ）∵，

而．

∴．（8分）

又∵B（，0，0），∴点D的坐标为D（-，0，0）．

假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）．

∴

∵DP∥平面AB1C，n=（-1，0，1）为平面AB1C的法向量，

∴由，得，∴y=0．（11分）

又DP⊄平面AB1C，

故存在点P，使DP∥平面AB1C，其坐标为（0，0，），即恰好为A1点．（12分）