热门试卷

解：由题意，圆台体积的最大时，圆台的上、下两个底面在球心的两侧，

∵半径为5的球内包含有一个圆台，圆台的上、下两个底面都是球的截面圆，半径分别为3和4，

∴圆台的高为4+3=7，

∴圆台体积的最大值为=．

故答案为：．

解：圆台的轴截面如图

由已知，∠DBE为母线和下底面的一条半径成的角，∴∠DBE=60°，

设圆台上底面的半径为 r，下底面的半径为 R，

过D作DE⊥OB于E，在RT△DEB中，母线DB=2，∴EB=R-r=DB•cos∠DBE=2×=1，∴R=2

 故圆台的侧面积等于π（r+R）l=π（1+2）×2=6π，

故答案为：6π．

解：正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，

一种是等腰直角三角形，如图甲．另一种是正三角形，如图乙．

若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形，

若任取三个点构成的是正三角形，剩下的三点也一定构成正三角形．

所以所得的两个三角形全等，

这是一个必然事件，因此概率为1，

故答案为：1．

解：如图，作DF垂直SE于F，因为三棱锥S-ABC的所有棱长均为2，D是SA 的中点，E是BC 的中点，故CE=1，解得SE=

又SD=1，EA=ES，故DE垂直SA，由此求得DE=，

由等面积法可求得DF==

故此旋转体的表面积为+=

故答案为

解：由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；

又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；

从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，③正确．

故答案为：①②③

解：由题意画出轴截面图，如图所示，

圆锥的母线长为l，底面半径为r，

设圆锥高为h，内接圆柱高为x，底面半径为y，

∵CD∥AB，∴，∴，则，

∴圆锥的侧面积S1=πrl，圆柱的侧面积S2=2πx•y=．

由圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的得：，

即，也就是．

又“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种

∴方程有且只有一个解，

∴△==0，

即．

∵，

∴，

整理得：，∴．

∴圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种时的．

故答案为．

解：∵侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，

若圆柱的底面周长为12cm，则底面半径R=cm，h=8cm，

此时圆柱的体积V=π•R2•h=cm3

若圆柱的底面周长为8cm，则底面半径R=cm，h=12cm，

此时圆柱的体积V=π•R2•h=cm3．

故答案为：或．

解：根据棱柱是多面体知棱柱的所有的面都是平的；①正确，

棱柱的所有的棱长不一定都相等；②不正确，

棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形或是平行四边形，③不正确，

棱柱的侧面的个数与底面的边数相等，④正确，

棱柱的上、下底面是两个全等的多边形，形状、大小相等，⑤正确

故答案为：①④⑤

解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．

②若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，不正确．

③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1或 ；不正确．

④如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于 ，正确．

⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos，正确．

故答案为：①④⑤．

解：如图，

∵ABCD是正四面体，且E，F，G分别是AB，AC，CD的中点，

可得四边形EFGH为正方形，取AD中点M，BC中点N，连接MN，

则有MN⊥平面EFGH，且M，N到平面EFGH的距离相等，

BM=CM=，则MN=．

∴M到平面EFGH的距离为．

∵AD∥平面EFGH，∴A到平面EFGH的距离为．

故答案为：．