- 空间几何体
- 共15406题
下列命题中正确的一个是（ ）
正确答案
解析
解：因为长方体的要求是上下底面为矩形，侧棱和上下底面垂直，
故选 D
已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD=60°．长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围成的几何体的体积为 ______．
正确答案
解析
解：|MN|=2，则|DP|=1，则点P轨迹是以点D为球心，半径r=1的球，
则球的体积为
∵
只取半球的
故答案为
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，所以棱长都等于1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=
正确答案
解析
解：过A1作A1O⊥平面AC，O为垂足．
∵∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=
∴O在∠BAD的角平分线，即AC上…（3分）
∵cos∠BAA1=cos∠BAC•cos∠OAA1
∴cos∠OAA1=
连A1C1则AA1C1C为平行四边形，∴cos∠AA1C1=-
在三角形ABC中，AC2=AB2+CB2-2AB•CBcos∠ABC=3…（8分）
∴
∴A1C=
故答案为：
下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由题意，对于A，根据棱柱的定义，可知棱柱的侧棱一定相等，侧面是平行四边形，从而正确；
对于B，若多面体是棱台，满足有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形则不是棱柱；
对于C，将直四棱柱，平行的面向某一方向倾斜下，则有两个侧面是矩形，其他两个侧面是平行四边形，故不正确；
对于D，各条棱长均相等的直平行六面体，底面可能是菱形，故不正确．
A
B5
C
D7
正确答案
解析
解：将面C1CB1B，B1BAA1打开，
连接AC1，则AC1为AE+C1E的最小值，
平行六面体中，侧棱B1B长为3，底面是边长为2的菱形，∠A1AB=120°，∠A1AD=60°，点E在棱B1B上，
∴∠C1BC=120°，∠ACB=30°，则∠ACC1=90°，
在三角形ABC中由余弦定理得AC=2
∴C1A2=C1C2+AC2=32+12=21，
∴C1A=
故AE+C1E的最小值为
故选：A．
一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
正确答案
解析
解：设三个边的长分别是a，b，c，则有
可得
故长方体的对角线长是
故答案为
已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ）
A2cm
B
C4cm
D8cm
正确答案
解析
解：∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，
∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，
设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，
则a3=64
解得a=4cm
故选C
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN⊥AC．
正确答案
M在FH的连线上
解析
因为FH∥C1C，C1C⊥底面ABCD，所以AC⊥HF，H、N为中点
所以HN⊥AC，HF∩HN=H，∴AC⊥平面FHN．
∵MN⊂平面FHN，∴MN⊥AC
故答案为：M在FH的连线上，
A
B1
C
D
正确答案
解析
G（1，0，2），F（x，0，0），D（0，y，0）由于
GD⊥EF，所以 x+2y-2=0
DF=
当y=
线段DF长度的最小值是
故选C．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，则
①四边形BFD1E一定是平行四边形；
②四边形BFD1E有可能是正方形；
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD1E有可能垂直于平面BB1D1．其中结论正确的序号是（ ）
正确答案
解析
①由平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，
∴ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；
②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，这个与A1D1⊥BE矛盾，故②错误；
③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；
④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E⊥平面BB1D1，故④正确．
故选D．
在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离是（ ）
正确答案
解析
解：由于PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，
作出长方体如图，
M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离，
就是长方体的体对角线的长：
故选A．
已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则斜高为______．
正确答案
5
解析
∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为6，E为AD的中点，O为其中心，
∴OE=3，又正四棱锥的高PO=4
在直角三角形POE中，
斜高PE=
故答案为：5
①MC⊥AN； ②GB∥平面AMN；
③平面CMN⊥平面AMN； ④平面DCM∥平面ABN．
正确答案
①②④
解析
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，
∴将题中的几何体放在正方体ABCD-A‘NC'M中，如图所示
对于①，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线
因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；
对于②，因为正方体ABCD-A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D
而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故②正确；
对于③，因为正方体ABCD-A'NC'M中，二面角A-MN-C的大小不是直角
所以面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；
对于④，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD-A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故④正确
故答案为：①②④
正确答案
解析
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴CC1⊥平面A1B1C1D1
∵l⊂平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥l，又CE⊥l，
∵CC1、CE是平面CC1E内的相交直线
∴l⊥平面CC1E
∵C1E⊂平面CC1E
∴l⊥C1E，
而在平面A1B1C1D1中，经过点E与C1E垂直的直线有且只有一条，
故选B．
①AC∥EB；
②AC与EB成60°角；
③DG与MN成异面直线；
④DG⊥MN．
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
同理可知异面直线DG与MN所成的角也是60°，故③正确，④错误，
因此只有②③正确，
故选B．
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