空间几何体_章节学习

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题型：单选题

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单选题

A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有（　　）

A一个

B无穷多个

C零个

D一个或无穷多个

正确答案

D

解析

解：如果A，B两点为球面上的两极点（即球直径的两端点）

则通过A、B两点可作球的无数个大圆

如果A，B两点不是球面上的两极点（即球直径的两端点）

则通过A、B两点可作球的一个大圆

故选：D

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题型：简答题

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简答题

如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD，

求证：△EFG∽△BCD．

正确答案

证明：在△ABD中，

∵AE：AB=AG：AD，

∴EG∥BD．同理，GF∥DC，EF∥BC．

又∠GEF与∠DBC方向相同．

∴∠GEF=∠DBC．

同理，∠EGF=∠BDC．

∴△EFG∽△BCD．

解析

证明：在△ABD中，

∵AE：AB=AG：AD，

∴EG∥BD．同理，GF∥DC，EF∥BC．

又∠GEF与∠DBC方向相同．

∴∠GEF=∠DBC．

同理，∠EGF=∠BDC．

∴△EFG∽△BCD．

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题型：单选题

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单选题

一个圆锥经过轴的截面（称为轴截面）是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积是（　　）

A

B

C

D3π

正确答案

B

解析

解：根据题意，可得

∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，

∴底面半径r=1，高h=r=，

可得圆锥的体积是V=πr2h=

故选：B

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题型：填空题

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填空题

若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是______；表面积是______．

正确答案

4π+4

解析

解：等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体是圆锥

它的体积为：=；

圆锥的底面周长为：4π，母线长为：2，

圆锥的表面积为：=4π+4．

故答案为：2；4π+4．

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题型：简答题

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简答题

已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．

正确答案

解：设圆台的母线长为l，

则圆台的上底面面积为S上=π•22=4π，

圆台的下底面面积为S下=π•52=25π，

所以圆台的底面面积为S=S上+S下=29π

又圆台的侧面积S侧=π（2+5）l=7πl，

于是7πl=29π，即．

解析

解：设圆台的母线长为l，

则圆台的上底面面积为S上=π•22=4π，

圆台的下底面面积为S下=π•52=25π，

所以圆台的底面面积为S=S上+S下=29π

又圆台的侧面积S侧=π（2+5）l=7πl，

于是7πl=29π，即．

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题型：单选题

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单选题

已知正四面体A-BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（　　）

A∀F∈BC，EF⊥AD

B∃F∈BC，EF⊥AC

C∀F∈BC，EF≥

D∃F∈BC，EF∥AC

正确答案

A

解析

解：如图，

∵四面体A-BCD为正四面体，且E为AD的中点，

∴BE⊥AD，CE⊥AD，

又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；

由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，

∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；

取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；

AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆．

（1）圆锥的侧面积是多少？

（2）轴截面等腰三角形的顶角为多少度？

正确答案

解：（1）设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，∴R=2r，

由勾股定理得，R2=（）2+（10）2，

∴R=，r=，

侧面积=×2πrR=；

（2）∵R=2r，

∴轴截面为等边三角形，

∴轴截面等腰三角形的顶角为60°．

解析

解：（1）设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，∴R=2r，

由勾股定理得，R2=（）2+（10）2，

∴R=，r=，

侧面积=×2πrR=；

（2）∵R=2r，

∴轴截面为等边三角形，

∴轴截面等腰三角形的顶角为60°．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体，则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为______．

正确答案

解析

解：连结OM，则OM⊥AB

∵∠ABC=30°，BC=，

∴AC=BCtan30°=1，AB=2AC=2

设OM=r，则OB=2r

∵OB=-r，∴2r=-r，解之得r=

因此所得旋转体的体积为

V=V圆锥-V球=π×AC2×BC-=×12×-=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A=60°，∠B=75°，a=2，求c．

正确答案

解：如图所示，

△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，

∴∠C=180°-60°-75°=45°；

又∵a=2，

∴由正弦定理得，

=，

∴c=×sin45°

=×

=2．

解析

解：如图所示，

△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，

∴∠C=180°-60°-75°=45°；

又∵a=2，

∴由正弦定理得，

=，

∴c=×sin45°

=×

=2．

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题型：单选题

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单选题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心分别为O1，O2将正方体绕直线O1O2旋转一周，其中由线段BC1旋转所得图形是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设正方体的棱长等于a，

∵BC1的中点到旋转轴的距离等于a，而B、C1两点到旋转轴的距离等于a，

∴BC1的中点旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大．

由此可得B项不符合题意，舍去．

又∵在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线的方向与转轴不共面，

∴A、C两项不符合题意，只有D项符合题意．

故选：D

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题型：填空题

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填空题

如图2-①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），则图2-①中的水面高度为______．

正确答案

a-

解析

解：令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V

则=

正置后：V水=V

则突出的部分V空=V

设此时空出部分高为h，则

h3：，

∴

故水的高度为：a-

故答案为：a-

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题型：单选题

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单选题

底面半径为1的圆锥，其母线与底面所成角为60°，则其侧面积与体积分别为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由题意可知圆锥的轴截面是正三角形，母线长等于直径l=2，高h=，

所以圆锥的侧面积为：s=×2π×2=2π

圆锥的体积v==．

故选C

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题型：单选题

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单选题

设圆台的上下底面半径分别为10和15，母线长为30，则它的侧面展开图扇环中，两个相对顶点间的距离是（　　）

A60

B90

C

D

正确答案

C

解析

解：设SA=x，O1A=10，O2B=15，

∵=∴x=60，

设圆台的侧面展开图扇环为AA‘B'B，

∴∠A'SA==，

∴在△SAB'中，由余弦定理可得：AB'2=602+902-2×60×90×cos=900×7，

∴AB'=，

故选C．

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题型：单选题

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单选题

半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（　　）

AπR3

BπR3

CπR3

DπR3

正确答案

A

解析

解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=

故选A

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题型：填空题

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填空题

一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图阴影所示．第六个正方形在编号1到5的位置，则所有可能位置的编号是 ______．

正确答案

②③

解析

解：阴影部分的五个正方形复原正方体，可知后面无盖，

只能是②③使之成为封闭的正方体．

故答案为：②③

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正确答案

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