- 空间几何体
- 共15406题
正确答案
M=N
解析
解：根据平面中直角三角形的勾股定理类比得，S△ABC2=S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2①，
由等体积法得 
∴
①÷②整理得M=N．
故答案为：M=N．
若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是______．
正确答案
解析
V=
=
故答案为：
将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4，再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为______．
正确答案
2
解析
解：设圆形纸片的半径是r，
∴沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4时，两个扇形的弧长分别是
围成圆锥时两个圆锥的底面半径分别是
两个圆锥的母线长度相等，都是r，
∴两个圆锥的高分别是
∴两圆锥的高之比为2
故答案为：2
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的面积为______．
正确答案
49π
解析
解：设上底面半径为r，则下底面半径为3r，
∵圆台的母线长为3，圆台的侧面积为84π，
∴S侧面积=π（r+3r）l=π×4r×3=84π，
解之得r=7，所以较小底面的面积S=πr2=49π
故答案为：49π
圆台上、下底面面积分别为π、4π，侧面积是6π，这个圆台的高为______．
正确答案
解析
∵圆台上、下底面面积分别为π、4π，
∴πr2=π且πR2=4π，可得r=1，R=2
又∵圆台侧面积是S=π（r+R）l=3πl=6π，
∴圆台的母线l=2
在圆台轴截面等腰梯形ABCD中，作DE⊥AB于E，则DE就是这个圆台的高
Rt△ADE中，AE=
∴DE=
故答案为：
若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，
∴设正方形的边长为a，可得圆柱的母线长为a，底面周长也等于a
底面半径r满足：2πr=a，得r=
因此，该圆柱的底面圆面积为S底=πr2=
圆柱的全面积与侧面积的比为
故选：A
正确答案
解析
则△ABC是正三角形，所以∠ABC=
故答案为：
正确答案
解析
可知AB=AC=BC，所以角的大小为60°
故选C．
若圆锥的底面积为9π，体积为12π，则该圆锥的侧面积为______．
正确答案
15π
解析
∴圆锥底面r=3，
设圆锥高为h，由体积V=
由V=12π得h=4； …（8分）
∴母线长l=
设底面周长为c，则该圆锥的侧面积=
所以该圆锥的侧面积=15π…（14分）．
故答案为：15π．
已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为______cm．
正确答案
解析
解：由题意可知球的体积为：
圆锥的体积为：
因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，
所以
圆锥的母线：
故答案为：
将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面围成一个圆柱，则圆柱的最大体积是______．
正确答案
解析
解：当矩形的边长4作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为6，设底面半径为r，由2πr=4 可得 r=
此时圆柱的体积为 π•r2•h=π•
当矩形的边长6作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为4，设底面半径为R，由2πR=6 可得 R=
此时圆柱的体积为 π•R2•h=π•
故圆柱的最大体积为 
故答案为 
将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
正确答案
解析
解：等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰
当较长的边是下底时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆柱、两个圆锥
当较长的边是腰时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆锥，一个圆台再挖掉一个圆锥
故选：C
下列命题中正确的是______（填序号）
①棱柱被任一平面截成的两部分都是棱柱；
②棱台的所有侧面都是等腰梯形；
③用一个平面去截圆锥，得到的几何体是一个圆锥和一个圆台；
④用任一平面去截球得到的截面都是圆面．
正确答案
④
解析
解：对于①，由于棱柱被不平行于底的平面截得的两部分不是棱柱，故①不正确；
对于②，只有正棱台的所有侧面才是等腰梯形，故②不正确；
对于③，用平行于底的平面去截圆锥，得到的几何体才是一个圆锥和一个圆台，
否则截不到一个圆锥和一个圆台，故③不正确；
对于④，根球的截面的性质，可得用任一平面去截球得到的截面都是圆面，故④正确．
故答案为：④
角为θ，∠ADC=2θ．
（1）若θ=45°，求直线A1C与该平行六面体各侧面
所成角的最大值；
（2）求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V的取值范围．
正确答案
直线A1C与该平行六面体各侧面所成角的大小有两个，
其一是直线A1C与侧面AA1D1D所成角的大小，记为α；
其二是直线A1C与侧面AA1B1B所成角的大小，记为β．∵θ=45°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
又∵A1D⊥平面ABCD，∴CD⊥A1D∴CD⊥平面AA1D1D，
所以，∠CA1D即为所求．（2分）
所以，α=arctan2（1分）
分别以DA，DC，DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
可求得
所以，
所以，直线A1C与侧面AA1B1B所成角的大小为
综上，直线A1C与该平行六面体各侧面所成角的最大值为arctan2．（1分）
（2）由已知，有DA1=tanθ，（1分）
由面积公式，可求四边形ABCD的面积为2sin2θ，（2分）
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=2sin2θ•tanθ=4sin2θ．（2分）
所以，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V的取值范围为（0，4）．（2分）
解析
直线A1C与该平行六面体各侧面所成角的大小有两个，
其一是直线A1C与侧面AA1D1D所成角的大小，记为α；
其二是直线A1C与侧面AA1B1B所成角的大小，记为β．∵θ=45°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
又∵A1D⊥平面ABCD，∴CD⊥A1D∴CD⊥平面AA1D1D，
所以，∠CA1D即为所求．（2分）
所以，α=arctan2（1分）
分别以DA，DC，DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
可求得
所以，
所以，直线A1C与侧面AA1B1B所成角的大小为
综上，直线A1C与该平行六面体各侧面所成角的最大值为arctan2．（1分）
（2）由已知，有DA1=tanθ，（1分）
由面积公式，可求四边形ABCD的面积为2sin2θ，（2分）
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=2sin2θ•tanθ=4sin2θ．（2分）
所以，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V的取值范围为（0，4）．（2分）
设长方体三条棱长分别为a，b，c，若长方体所有棱长的和为24，一条对角线长为5，体积为2，则
正确答案
解析
a+b+c=6…①，
abc=2…②，
a2+b2+c2=25…③
由①式平方-②可得ab+bc+ac=
④÷②得：
故答案为：
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