热门试卷

（1）证明略

（2）垂直

略

解:作于点P,如图,分别以AB,AP,AO

所在直线为轴建立坐标系，

则,

…………………2分

（Ⅰ）设与所成的角为,，

 , 与所成角的大小为…5分

（Ⅱ），

设平面OCD的法向量为,

则，即 ，

取,解得 … 6分

易知 平面OAB的一个法向量为 ………7分

……………………………………………………9分

由图形知，平面与平面所成的二面角的余弦值为…………………10分

略

(1)略

(2)

（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，

是平面与平面所成二面角的棱．……8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．………………10分

设，则，，

∴，

∴． ………13分

（法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．

∴，，…………………8分

设平面的法向量为，

则且，

∴∴解之得

取，得平面的一个法向量为.         ………10分

又∵平面的一个法向量为．……11分

．………13分

（1）证明：，且平面

∴平面.   …………………………………………………3分

（2）证明：在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形

∴，又，∴，在Rt△中，，

∴，  ……………………………………………………4分

∴，则，

∴   ……………………………………………………………………6分

又 ∴   ………………………………………7分

∴平面  ………………………………………………………………9分

（3）∵是中点，

∴到面的距离是到面距离的一半.  ………………………11分

.………………………14分

略

(1)略

(2)略

(3)

（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D   

∴平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC="AC  "

∴BC⊥平面A1ACC1   ∴BC⊥AC1

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1="B  " ∴AC1⊥平面A1BC ----------4分

（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系

∵AC1⊥平面A1BC   ∴AC1⊥A1C

∴四边形A1ACC1是菱形   ∵D是AC中点  

∴∠A1AD=60°∴A(2,0,0)  A1(1,0,)  B(0,2,0)

C1(-1,0,)   ∴=(1,0,) =(-2,2,0)

设平面A1AB的法向量="(x,y,z)  " ∴ 令z="1 " ∴=(,,1)

∵="(2,0,0)   " ∴  ∴C1到平面A1AB的距离是 --8分

（3）平面A1AB的法向量=(,,1)   平面A1BC的法向量=(-3,0,)

∴   设二面角A-A1B-C的平面角为，为锐角，

∴   ∴二面角A-A1B-C的余弦值为     ---------------12分

（1）

（2）2

（1）取AC的中点H，连MH，则MH//PA，所以MH⊥平面ABCD，过H作HN⊥AD于N，连MN，由三垂线定理可得MN⊥AD，则∠MNH就为所求的二面角的平面角

AH

在Rt△ANH中，

则在Rt△MHN中，

故所示二面角的大小为

（2）若AM⊥MD，又因为PA=AC=，M为PC的中点，

则AM⊥PC，所以AM⊥平面PCD，则AM⊥CD。

AM在平面ABCD的射影为CD，由三垂线定理可知其等价于AC⊥CD，

此时△ACD为等腰直角三角形，所以AD=AC=2

证明：（Ⅰ）当为的中点时,

∥平面.   

证明：取的中点N，连结MN、AN、，

MN∥，AE∥，

 四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN

在平面内∥平面.                                       

方法二）延长交延长线于，连结.

∥，又为的中点,

∥平面∥平面.

（Ⅱ）当为的中点时，, ,又,

可知,所以,平面平面,

所以二面角的大小为；高

又二面角的大小为二面角与二面角大小的和，

只需求二面角的大小即可；

过A点作交DE于F，则平面,，

过F作于H，连结AH，

则AHF即为二面角的平面角，         

，，，

所以二面角的大小为．

略

(1)略

(2)略

(2)

(Ⅲ)

（1）略

（2）

（3）在线段BC上存在点P使AP⊥DE

（本小题满分13分）

解：法一：（1）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，

得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．   

∴AB∥平面DEF． 

（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD  

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE=   ………………………8分

（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………10分

证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，

∴PQ⊥平面ACD     ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…………………………13分

法二：（2）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则即

所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分

（3）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设

…………12分

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE       ………………14分

另解：设

又     …………………12分

把

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE  ……………．13分 

（1）证明略；

（2）

（1）证法1：∵平面，平面，∴．

又为正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，．………4分

∵，∴．………6分

（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，……………8分

设平面DFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．…………………………10分

设平面EFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．……………………………12分

∵．

设二面角的平面角为θ，则．

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分

解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，W

则，，，，，

，，．………………………………8分

过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．………………………………………………10分

再过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵与所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分

略

（1）略

（2）BD与EF所成的角为

（3）

解：（1）由条件得

，

又面BCC1B，

面ABD…………3分

（2）取B1C1的中点G，连接GE、GF，则EG//BD，

或其补角为BD、EF所成角…………4分

面BCC1B1，GF//A1B1

面BCC1B1，

在中，

与EF所成角为…………8分

（3）设F到面ABD的距离为，作B作BHAC于H，则BH面ACC1A1

…………12分