热门试卷

（I）略

（II）平面，即在上存在一点，使得平面，

此时．

解：（Ⅰ）因为为菱形，所以

又，所以，

又为中点，所以

而平面，平面，所以

又，所以平面（6分）

（II）存在

取中点，连结，，，（8分）

因为，分别为、中点，所以且

又在菱形中，，

所以，，即是平行四边形

所以，又平面，平面

所以平面，即在上存在一点，使得平面，（10分）

此时．（12分）

3,

 解法一：

（Ⅰ）在平面内作交于，　连接。

　　　又，　

　　　，

　　　。

　　　取为的中点，则。

在等腰　中，，

在中，，

在中，，

（Ⅱ）

连接，

由，知：.

又，

又由，。

是在平面内的射影。

在等腰中，为的中点，

根据三垂线定理，知：

为二面角的平面角

在等腰中，，

在中，，

中，。

解法二：

取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系 （如图所示）

则

为中点，

设 。

 即，。

所以存在点 使得 且。

（Ⅱ）记平面的法向量为,则由，，且，

得， 故可取

又平面的法向量为。

两面角的平面角是锐角，记为，则

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

（1）证明：取AB中点M，连结OM．                 2分

在矩形ABCD中，OM＝，

又EF＝，则EF＝OM，

连结FM，于是四边形EFMO为平行四边形．∴OE∥FM．                                  4分

又∵EO平面ABF，FM平面ABF，∴EO∥平面ABF．                                    6分

（2）解：∵OF⊥平面ABE，连结EM．

∵EM平面ABE．∴OF⊥EM，又四边形OEFM为平行四边形．

∴□OEFM为菱形．                                                                                                               8分

∴OM＝MF，设OM＝a，则BC＝2a．

在正△ABF中，MF＝a，∴a＝，∴．                                10分

∴CD＝，∴

综上可知，当时，有OF⊥平面ABE．                                                    12分

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）arctan

⑴连接CD1∵P、Q分别是CC1、C1D1的        

中点。∴CD1∥PQ 故CD1∥平面BPQ

又D1Q=AB=1，D1Q∥AB，

得平行四边形ABQD1，故AD1∥平面BPQ

∴平面ACD1∥平面BPQ

∴AC∥平面BPQ        （4分）

⑵设DD1中点为E，连EF，则PE∥CD

∵CD⊥AD，CD⊥DD1  ∴CD⊥平面ADD1

∴PE⊥平面ADD1

过E作EF⊥AD1于F，连PF。则PF⊥AD1，PF为点P到直线AD1的距离

PF=，PE="2 " ∴EF= 又D1E=，D1D=1，∴AD="1    "

取CD中点G，连BG，由AB∥DG，AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC，AD⊥DD1∴AD⊥平面DCC1D1，则BG⊥平面DCC1D1

过G作GH⊥PQ于H，连BH，则BH⊥PQ，故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。                                                    

由△GHQ∽△QC1P得GH=，又BG=1，得tan∠BHG=

∴二面角B-PQ-D大小为arctan

（1）

（2）略

（3）

解：（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角，……………………2分

在中，

 ………………………………………4分                                                                                                                    

（Ⅱ）由，

，  又平面．………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角．……12分

方法二：设点到平面的距离为，

∵             

 于是与平面所成角的正弦为  ．

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，

则．

设平面的法向量为，则

， ，

取，则， 于是与平面所成角的正弦即

．

（1）60º

（2）Q为的中点时

（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B1(1,1,1),  D1(0,0,2).

所以

又由的一个法向量.

设与所成的角为，

则=，

解得.故当时，直线AP与平面所成角为60º. ………5分

（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，

则.

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于

即Q为的中点时，满足题设的要求.                ……………10分

（1）

（2） cm(3)证明略

 如图(1)所示.

图（1）

(2)解 所求多面体体积

V=V长方体-V正三棱锥

=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3).

(3)证明 如图,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,

连接AD′,则AD′∥BC′.

因为E,G分别为AA′,A′D′的中点,

所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.                                

又BC′平面EFG,                                           

所以BC′∥面EFG.