热门试卷

（1）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且．                     …………………………3分

所以四边形为平行四边形．

所以∥．                                  …………………………4分

又因为平面，且平面，

所以∥平面．                               ………………………5分

（2）证明：在正方形中，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面． 

所以．                                     ………………………7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．

所以．                                   …………………………8分

所以平面．                             …………………………10分

（3）解法一：由（2）知，平面

又因为平面，所以平面平面．   ……………………11分

过点作的垂线交于点，则平面

所以点到平面的距离等于线段的长度      ………………………12分   在直角三角形中，

所以

所以点到平面的距离等于.                 ………………………14分

解法二：由（2）知，

所以

             ………………………12分

又，设点到平面的距离为

则  

所以  

所以点到平面的距离等于.                 ………………………14分

略

略

解：(1) ………5分

(2)连结NO,证明PA//NO即可………5分

(3)由(l)可知，BO⊥平面PAC，故在平面PAC内，作OM⊥A，

连结BM（如图），则∠BMO为二面角的平

面角．在中，易知

即二面角的正切值为  …………14分

略

（1）4；（2）为的中点；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要以正三棱柱为几何背景,考查椎体体积、线面平行、面面垂直的判定，运用传统几何法求解证明，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，由图形判断五面体就是四棱锥，所以主要任务就是求高和底面面积；第二问，利用直线与平面平行的性质定理，证明出，所以为中点；第三问，结合第二问的结论，由线面垂直的判定定理，得出⊥平面，再由面面垂直的判定定理得出结果.

试题解析：（Ⅰ）如图可知五面体是四棱锥，

∵侧面垂直于底面，

∴正三角形的高就是这个四棱锥的高，

又，．

于是．      4分

（Ⅱ）当点为中点时，∥平面．

连结连结，∵四边形是矩形，

∴为中点，

∵∥平面，平面平面＝，

∴，∴为的中点．                      8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当∥平面时，为的中点．

∵为正三角形，为的中点，∴，

由平面，∴，

又，∴⊥平面，

又平面，∴平面⊥平面．                      12分

（1）           （2）

建立空间直角坐标系，利用向量解决（1）求GB与平面AGC所成角的正弦值，求GB与平面AGC的法向量的余弦值；（2）求二面角B—AC—G的余弦值，即求两个平面法向量的余弦值

（向量法）

解：如图，以A为原点建立直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），

G（a，a，0），F（a，0，0）．

（由题意可得，，

，，

设平面AGC的法向量为，

由    ……

                         ……

（2）因是平面AGC的法向量，

又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得

，

（1） 证明：       

又面        又AC∩SA="A, " 面     …………2分

∵ AD平面SAC，         ……………4分

又面 ………6分

（2）由（1）AD⊥面SBC，过D作DE⊥BS交BS于E，连结AE，

则∠AED为二面角A-SB-C的平面角，………8分，

由AS=BC=1，AC=2，得AD=，………….10分

在直角△ADE中，，即二面角A-SB-C的大小为………12分.

略

解: （1）证明：在中，，，          

，.                     

又 是正方形ABCD的对角线，

，                                          

又.                       4分

（2）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系.

则，

是平面的一个法向量.        7分

，，                      

设平面的法向量,则，.

即，                              10分

所以且令则，，解得. 11分

从而，二面角的余弦值为12分

略

以DP为Z轴，以DA为Y轴，以DC为X轴建系

P(0,0,1)  A(1,0,0)  B(1,1,0)  C(0,1,0)   

（2）面BDE的法向量为,设面FDE的法向量为

 有 取

,即二面角F-DE-B的大小为。

略

I）由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB。

因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，

所以AC⊥面ABB1A1。………………3分

由，知侧面ABB1A1是正方形，连结AB1，

所以A1B⊥AB1。

由三垂线定理得A1B⊥B1C。 ………………6分

（II）作BD⊥B1C，垂足为D，连结A1D。

由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD，

于是B1C⊥A1D，

则∠A1DB为二面角

A1—B1C—B的平面角。………………8分

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，

故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分

略

(1)略

(2)

解：①证明：取AD中点为O，连接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD

故以OA为轴

OP为轴建立空间直角坐标系（如图所示）……1分

设，

则，，，，

故可求得：，                     ……3分

∴，，

∵，

∴，  ∴平面

∴平面                 ……6分

②设平面的一个法向量为，则

 ，取    ……8分

为平面的一个法向量，                                   ……9分

故               ……11分

故平面与平面的夹角余弦值为                    ……12分

(1)

(2)

(3) 45°.

解：：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则，，……1分

(1)直三棱柱中，

平面的法向量，又，

设，则 …………4分

（2）设，则，

，∴  ，即

…………8分

（3）∵，则，设平面的法向量，则，取，…………10分

∵，∴，又，

∴平面的法向量，∴，

∴二面角为45°.      …………12分