热门试卷

（1）

（2）

（1）

（2）设AB＝a,由点O、D分别是AC、PC的中点知：为所求异面直线PA与BD所成角.

又OP⊥底面ABC，

 .从而

.

即异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为。

（1）AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF

（2）锐二面角的余弦值

（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，

BB1⊥面ABC，∠ABC＝．

以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E．

所以，

设AF＝x，则F(，0，x)，

.

，所以       

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.

由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，

故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．……………… 5分

（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.    

设平面B1CF的法向量为，则由得

令z=1得，

所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

………………… 10分

  在平面AA1D1D内，延长D1F，

∵D1F与DA不平行，

因此D1F与DA必相交于一点，设为P，

则P∈FD1，P∈DA.

又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，

∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.

又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，

∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.

小题1:设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．

是正三角形，．

又底面侧面，且交线为．

侧面．

连，则直线与侧面所成的角

为．  

在中，，解得．      

此正三棱柱的侧棱长为．                        ……………………5分

注：也可用向量法求侧棱长．

小题2:

过作于，连，

侧面．

为二面角的平面角．          

在中，，又

， ．

又

在中，．              

故二面角的大小为

小题3:

由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．                    

在中，．        

为中点，点到平面的距离为．      …………14分

同答案

（1）3（2）

试题分析：解：（1）设，由题设，

得，即，解得．

故的长为．

（2）以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

由已知及（1），可知，，，，

设平面的法向量为，有，，

其中，，则有即解得，，取，得平面的一个法向量，且．

在平面上取点，可得向量，于是点到平面的距离．

点评：求点到平面的距离，可通过向量方法来求解，有时也可通过三棱锥的体积来求解（等体积法）。

（1）略（2）不存在（3）点在棱上且

（1）证：连接交于点，            ……（1分）

在平行四边形中，

有，又                                          ……（2分）

∴为的中位线，从而，                         

又平面∴直线平面；                          ……（3分）

（2）解：假设存在点，使平面⊥平面，

过点作于，则平面，

又过作于，则平面，                   ……（5分）

而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故、应重合于点，此时应有，故，

又点在棱上，故，

显然矛盾，故不存在这样的点，使平面⊥平面．         ……（7分）

（3）解：连接，过作于．由（2）中的作法可知

为二面角平面角，                                ……（8分）

设，则，                                                   

则可得，，

，                                  ……（10分）

∴．∴    

设AC、BD相交于点O，连接OE、BE、DF。

（1）明显可知，PA在平面EDB外，E是PC中点，O是正方形ABCD中点，所以OE是三角形APC中位线，所以有EO//PA。所以PA//平面EDB。

（2）由条件可知，BC垂直于CD，侧棱PD⊥底面ABCD，所以，PD⊥BC，PD/CD相交于点D，所以BC⊥平面PCD。因为PD=CD，E是PC中点，所以DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC，所以DE⊥PB，又因为EF⊥PB，且DE和EF相交，所以PB⊥平面EFD

（2）以DA,DC，DP为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系，设底面正方形的边长为１，易知为平面CBD的法向量，为平面PBD的法向量，＝，，，二面角C-PB-D的大小为，

（1）设AC、BD相交于点O，连接OE，证明线线平行EO//PA，得到线面平行；(2)证明PB垂直平面内两条相交直线；（3向量法计算

（Ⅰ）证明：取的中点，连结，．

∵分别是的中点，

∴，

∴平面，…………………3分

又，

且平面，平面，

∴平面．…………………6分

（Ⅱ）解：如图，在平面内，过作的垂线，记为，则平面.

以为原点，、、所在的直线分别为轴，轴，轴建立建立空间直角坐标系.

∴.

∴，，．  …………………8分

设，则. 

设平面的法向量为，

则∴

取，得，，

∴．                       

又平面的法向量为，              .…………………11分

∴，

解得或.

故或（或）. …………………13分

略

略

解：（1）                        4分

                                   6分

（2）依题意，作圆锥的高，是母线与底面所成的线面角，    7分

设圆锥高，，               

    ，                                          9分

                                      11分    

答：所制作的圆锥形容器容积立方米                             12分   

略

（Ⅰ）证明略

（Ⅱ）证明略

（Ⅲ）

解：（Ⅰ）设中点为，连结，，………… 1分

∵，所以.

又，所以.  ………………… 2分

∵，所以平面.

∵平面，所以.  ……… 4分

（Ⅱ）由已知，，

∴，.

又为正三角形，且，∴. …………………… 6分

∵，所以.

∴.

由（Ⅰ）知是二面角的平面角.

∴平面平面.       …………………………………………… 8分

（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.

过作于，连结，则.

∴是二面角的平面角. ………………………………… 10分

在中，易求得.

∵，所以.  ………………………… 12分

∴.

即二面角的余弦值为.  …………………………………… 13分

方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直.     ……………………… 9分

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知，，，.

∴，.  ……………………… 10分

设平面的法向量为，

则即

令，则，.

∴平面的一个法向量为.   ……………………… 11分

易知平面的一个法向量为.

∴. …………………………………… 12分

由图可知，二面角为锐角.

∴二面角的余弦值为. …………………………………… 13分

(1)略

(2)

解：（Ⅰ）连接，显然 设，

则

 ，

又  ，

（Ⅱ）以为原点，以所在射线为轴正半轴，

以所在射线为轴正半轴，

以所在射线为轴正半轴建立空间直角坐标系．则有

 异面直线 所成角的余弦值为

解：方法1（几何法）：∵平面，∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．设．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴点P到平面MNQ的距离为．……………5分

（2）设点N到平面MNQ的距离为d．可以求得，

∴．．由得

，∴．……………10分

设直线PN与平面MPQ所成的角为，则．故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为．……………12分

方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）是平面MNQ的一个法向量．

∵，

∴点P到平面MNQ的距离．……………5分

（2）设平面MPQ的一个法向量为．．

由得得

．．……………10分

．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则

．……………12分

略

证：（1）取PC中点M，连ME，MF

∵FM//CD，FM=，AE//CD，AE=

∴AE//FN，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形

∴AE//EM，

∵AF平面PCEAF//平面PCE………………………5分

解：（2）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH

∵PA⊥平面ABCD

∴PH⊥CN（三垂线定理）

∴∠PHA为二面角P—EC—A的平面角……8分

∵AD=2，CD=3

∴CN=5，即EN=A="AD                                          "

∴PA=2

∴AH=

∴

∴二面角P—EC—A的正切值为………………………13分

略