- 空间几何体
- 共15406题
(本题14分)如图,在三棱锥SABC中,
,O为BC的中点.
(I)求证:面ABC;
(II)求异面直线与AB所成角的余弦值;
(III)在线段AB上是否存在一点E,使二面角的平面角的余弦值为
;若存在,求
的值;若不存在,试说明理由。
正确答案
,存在点E当BE:BA=1:2时二面角
的平面角的余弦值为
(Ⅰ) 连接,显然
设,则
,
又 ,
(Ⅱ)以为原点,以
所在射线为
轴正半轴,以
所在射线为
轴正半轴,以
所在射线为
轴正半轴建立空间直角坐标系.
则有
异面直线
所成角的余弦值为
(本小题满分12分)
如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.
(I)求证:A1D⊥平面BDE;
(II)求二面角B―DE―C的大小;
正确答案
arctan
(1)∵AA1⊥面ABCD,∴AA1⊥BD,又BD⊥AD,
∴BD⊥A1D -------------------3分
又A1D⊥BE,
∴A1D⊥平面BDE ------------------- 5分
(2)连B1C,则B1C⊥BE,易证RtΔCBE∽RtΔCBB1,
∴=,又E为CC1中点,∴BB12=BC2=a2,
∴BB1=a ……………………………………………………………………7分
取CD中点M,连BM,则BM⊥平面CD1,作MN⊥DE于N,连NB,则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角 ……………………………………………………………………9分
RtΔCED中,易求得MN=,RtΔBMN中,tan∠BNM==,∴∠BNM=arctan
……………………………………………………………………………………………12分
(2)另解:以D为坐标原点,DA为x轴、DB为y轴、DD1为z轴建立空间直角坐标系,则B(0,a,0),设A1(a,0,x),E(-a,a,),=(-a,0,-x),
=(-a,0,),∵A1D⊥BE
∴a2-x2=0,x2=2a2,x=a,即BB1=a.
如图,四边形是正方形,
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若与
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
正确答案
①见解析②
试题分析:(I)要证面面垂直,只要证明线面垂直,只要证明线线垂直:即找到直线(II)由于
选取
为坐标原点建立空间直角坐标系,由于底面直角梯形只有上下底边的关系,直角腰边长
需要用
成
角这个等式确定的,进一步计算出多面体顶点坐标,利用空间向量计算出两个平面的法向量,再求二面角的余弦值.
试题解析:(I)平面
,且
平面
,
,
又是正方形,
,而梯形
中
与
相交,
平面
,
又平面
,
平面
平面
4分
(II)平面
,则
,
,
又,
,
,
以点为原点,
依次为
轴,建立空间直角坐标系,
不妨设,
.
则,
,
,
,
.6分
,
,
由与
所成的角为
,
得
解得. .8分
,
,
求得平面的一个法向量是
; ..9分
,
,
求得平面的一个法向量是
; ..10分
则, ..11分
故二面角的余弦值为
.12分
(其他做法参照给分)
(本小题满分14分)
如图,在直四棱柱中,
,
分别是
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
.
正确答案
见解析
解:(Ⅰ)连接AC,则AC∥,而
分别是
的中点,所以EF∥AC,
则EF∥,故
平面
7分
(Ⅱ)因为平面
,所以
,又
,
则平面
12分
又平面
,所以平面
平面
14分
如图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=,M为BC的中点
(Ⅰ)证明:AM⊥PM ;
(Ⅱ)求二面角P-AM-D的大小;
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离
正确答案
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)45°(Ⅲ)
(Ⅰ) 取CD的中点E,连结PE、EM、EA.
∵△PCD为正三角形,∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD, ∴PE⊥平面ABCD (2分)
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得:EM=,AM=
,AE=3
∴ (4分)
,又
在平面ABCD上射影:
∴∠AME=90°, ∴AM⊥PM (6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM,PM⊥AM
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角 (8分)
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P-AM-D为45°; (10分)
(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为,连结DM,则
, ∴
而 (12分)
在中,由勾股定理可求得PM=
,所以:
∴
即点D到平面PAM的距离为 (14分)
解法2:(Ⅰ) 以D点为原点,分别以直线DA、DC为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,
依题意,可得
……2分
∴
(4分)
∴
即,∴AM⊥PM (6分)
(Ⅱ)设,且
平面PAM,则
即
∴ ,
取,得
(8分)
取,显然
平面ABCD, ∴
结合图形可知,二面角P-AM-D为45°; (10分)
(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为,由(Ⅱ)可知
与平面PAM垂直,则
=
即点D到平面PAM的距离为 (14分)
如图所示,一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N,过墙角D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q;若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?
正确答案
“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角(),平板车的长度不能超过,即平板车的长度
;记
,有
=
,
==
=, 10分
此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记,则
)或直接求导,以确定函数在
上的单调性;
当时取得最小值
。 15分
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.
正确答案
圆台的高OO1="14" (cm),母线长l=O1O=14
(cm),两底面半径分别为7 cm,21 cm.
圆台的轴截面如图所示,设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S,
在Rt△SOA中,∠ASO=45°,
则∠SAO=45°,
∴SO=AO=3x,∴OO1=2x,
又S轴截面=(6x+2x)·2x=392,∴x=7.
故圆台的高OO1="14" (cm),
母线长l=O1O=14
(cm),
两底面半径分别为7 cm,21 cm.
在直径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为______.
正确答案
因为直径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,设圆锥的高为:h,
所以tan60°=,h=5
.m
故答案为:5m.
在棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,E为底面BCD上一点,若E到三个侧面的距离分别为3,4,5,则以线段AE为直径的球的表面积为______.
正确答案
根据题意:点E到三个侧面的垂线与侧棱AB,AC,AD围成一个棱长为3、4、5的长方体,
则其外接球的直径即为AE且为长方体的体对角线.
∴2r==5
∴r=
由球的表面积公式得:S=4πr2=50π
故答案为:50π.
正方体的棱长为1,
为
的中点,
为线段
的动点,过
的平面截该正方体所得的截面记为
,则下列命题正确的是
①当时,
为四边形 ②当
时,
为等腰梯形
③当时,
与
的交点
满足
④当
时,
为六边形
⑤当时,
的面积为
正确答案
①②③⑤
试题分析:如图,当时,,即Q为CC1中点,此时可得
,
故可得截面APQD1为等腰梯形,故②正确;由上图当点Q向C移动时,满足,只需在DD1上取点M满足AM∥PQ,即可得截面为四边形APQM,故①正确;③
时,如图,
延长DD1至N,使,连接AN交A1D1于S,连接NQ交C1D1于R,连接SR,
可证,由
1,可得
,故可、
得,故正确;④由③可知当
时,只需点Q上移
即可,此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显然为五边形,故错误;
⑤当时,Q与C1重合,取A1D1的中点F,连接AF,可证
,可知截面为APC1F为菱形,故其面积为
,故正确.
如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为
的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足
,FE=
a .
图5
(1)证明:EB⊥FD;
(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面
与平面
所成二面角的正弦值
正确答案
(2)设平面与平面RQD的交线为
.
由BQ=FE,FR=
FB知,
.
而平面
,∴
平面
,
而平面平面
=
,
∴.
由(1)知,平面
,∴
平面
,
而平面
,
平面
,
∴,
∴是平面
与平面
所成二面角的平面角.
在中,
,
,
.
.
故平面与平面
所成二面角的正弦值是
.
(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥
,截面PQGH∥
.
(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,
并求出这个值;
(Ⅲ)若,求
与平面PQEF所成角的正弦值.
正确答案
(Ⅰ)同解析(Ⅱ)截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值.(Ⅲ)
.
解法一:
(Ⅰ)证明:在正方体中,,,
又由已知可得
,
,
,
所以,
,
所以平面
.
所以平面和平面
互相垂直. 4分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
,是定值. 8分
(Ⅲ)解:设交
于点
,连结
,
因为平面
,
所以为
与平面
所成的角.
因为,所以
分别为
,
,
,
的中点.
可知,
.
所以. 12分
解法二:
以D为原点,射线DA,DC,DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz.由已知得,故
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得
,
,
.
因为,所以
是平面PQEF的法向量.
因为,所以
是平面PQGH的法向量.
因为,所以
,
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直. 4分
(Ⅱ)证明:因为,所以
,又
,所以PQEF为矩形,同理PQGH为矩形.
在所建立的坐标系中可求得,
,
所以,又
,
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值. 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知是平面
的法向量.
由为
中点可知,
分别为
,
,
的中点.
所以,
,因此
与平面
所成角的正弦值等于
. 12分
如图,在长方体中,
,
为
的中点,
为
的中点.
(I)求证:平面
;
(II)求证:平面
;
(III)若二面角的大小为
,求
的长.
正确答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(III).
试题分析:(Ⅰ)证明平面
,就是证明
平面
,只需证明
与平面
内的两条直线垂直,即可证明
平面
;(Ⅱ)证明
平面
,只需证明
与平面
的一条直线平行,这里采用证明平行四边形的目的来证明
与平面
的一条直线平行;(III)借助空间向量法计算当
为
时
的长.
试题解析:(I)证明:在长方体中,
因为平面
,所以
.
因为,所以四边形
为正方形,因此
,
又,所以
平面
.
又,且
,
所以四边形为平行四边形.
又在
上,所以
平面
.
4分
(II)取的中点为
,连接
.
因为为
的中点,所以
且
,
因为为
的中点,所以
,
而,且
,
所以,且
,
因此四边形为平行四边形,
所以,而
平面
,
所以平面
.
9分
(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系
,设
,
则,
故.
由(I)可知平面
,所以
是平面
的一个法向量.
设平面的一个法向量为
,则
,
所以
令,则
,所以
.
设与
所成的角为
,则
.
因为二面角的大小为
,
所以,即
,
解得,
即的长为1. 14分
已知三棱柱的体积为
,
为其侧棱
上的任意一点,则四棱锥
的体积为____________
.
正确答案
略
(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点。
(1)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;
(2)在CC1上是否存在一点E,使得∠BA1E=45°,若存在,试确定E的位置,并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直?若不存在,请说明理由。
正确答案
略
(1)∵AB=B1B
∴四边形ABB1A1为正方形,
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD,
∴AC1⊥A1B,
∴A1B⊥面AB1C1,
∴A1B⊥B1C1
又在直棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥B1C1,
∴B1C1⊥平面ABB1A1…………………………………………6分
(2)证明:设AB=BB1=a,CE=x,
∵D为AC的中点,且AC1⊥A1D,
∴A1B=A1C1=a
又∵B1C1⊥平面ABB1A1,B1C1⊥A1B1
∴B1C1=a,BE=,
A1E=,
在△A1BE中,由余弦定理得
BE2=A1B2+A1E2-2A1B·A1E·cos45°,
即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2·
a·
,
∴=2a-x,解得x=
a,即E是C1C的中点
∵ D.E分别为A C.C1C的中点,∴DE∥AC1
∵AC1⊥平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD
又∵PE平面BDE,∴平面ABD⊥平面BDE…………………………12分
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