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题型:简答题
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简答题

(本题14分)如图,在三棱锥SABC中,,O为BC的中点.

(I)求证:面ABC;

(II)求异面直线与AB所成角的余弦值;

(III)在线段AB上是否存在一点E,使二面角的平面角的余弦值为;若存在,求的值;若不存在,试说明理由。

正确答案

,存在点E当BE:BA=1:2时二面角的平面角的余弦值为

(Ⅰ) 连接,显然                               

,则

 ,                  

 ,         

(Ⅱ)以为原点,以所在射线为轴正半轴,以所在射线为轴正半轴,以所在射线为轴正半轴建立空间直角坐标系.         

则有

 异面直线所成角的余弦值为            

  

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简答题

(本小题满分12分)

如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.

(I)求证:A1D⊥平面BDE;

(II)求二面角B―DE―C的大小;

正确答案

arctan

(1)∵AA1⊥面ABCD,∴AA1⊥BD,又BD⊥AD,

∴BD⊥A1D        -------------------3分

又A1D⊥BE,

∴A1D⊥平面BDE  ------------------- 5分

(2)连B1C,则B1C⊥BE,易证RtΔCBE∽RtΔCBB1

∴=,又E为CC1中点,∴BB12=BC2=a2

∴BB1=a           ……………………………………………………………………7分

取CD中点M,连BM,则BM⊥平面CD1,作MN⊥DE于N,连NB,则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角  ……………………………………………………………………9分

RtΔCED中,易求得MN=,RtΔBMN中,tan∠BNM==,∴∠BNM=arctan

……………………………………………………………………………………………12分

(2)另解:以D为坐标原点,DA为x轴、DB为y轴、DD1为z轴建立空间直角坐标系,则B(0,a,0),设A1(a,0,x),E(-a,a,),=(-a,0,-x),=(-a,0,),∵A1D⊥BE

∴a2-x2=0,x2=2a2,x=a,即BB1=a.

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题型:简答题
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简答题

如图,四边形是正方形,

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)若所成的角为,求二面角的余弦值.

正确答案

①见解析②

试题分析:(I)要证面面垂直,只要证明线面垂直,只要证明线线垂直:即找到直线(II)由于选取 为坐标原点建立空间直角坐标系,由于底面直角梯形只有上下底边的关系,直角腰边长 需要用 成 角这个等式确定的,进一步计算出多面体顶点坐标,利用空间向量计算出两个平面的法向量,再求二面角的余弦值.

试题解析:(I)平面,且平面

是正方形,,而梯形相交,

平面

平面

平面平面             4分

(II)平面,则

以点为原点,依次为轴,建立空间直角坐标系,

不妨设.

   .6分

, 

所成的角为

解得.    .8分

 

求得平面的一个法向量是

;    ..9分

求得平面的一个法向量是;    ..10分

,    ..11分

故二面角的余弦值为     .12分

(其他做法参照给分)

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)

如图,在直四棱柱中,分别是的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面平面.

正确答案

见解析

解:(Ⅰ)连接AC,则AC∥,而分别是的中点,所以EF∥AC,

则EF∥,故平面        7分

(Ⅱ)因为平面,所以,又

平面         12分

平面,所以平面平面        14分

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题型:简答题
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简答题

如图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BCM为BC的中点

(Ⅰ)证明:AMPM

(Ⅱ)求二面角PAMD的大小;

(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离

正确答案

(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)45°(Ⅲ)

(Ⅰ) 取CD的中点E,连结PE、EM、EA.

∵△PCD为正三角形,∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

∵平面PCD⊥平面ABCD, ∴PE⊥平面ABCD          (2分)

∵四边形ABCD是矩形

∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形

由勾股定理可求得:EM=,AM=,AE=3

                          (4分)

,又在平面ABCD上射影:

∴∠AME=90°,      ∴AM⊥PM                  (6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM,PM⊥AM

∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角           (8分)

∴tan ∠PME=

∴∠PME=45°

∴二面角P-AM-D为45°;                   (10分)

(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为,连结DM,则

 ,   ∴

                         (12分)

中,由勾股定理可求得PM=

,所以:

即点D到平面PAM的距离为                       (14分)

解法2:(Ⅰ) 以D点为原点,分别以直线DA、DC为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

依题意,可得

    ……2分

     (4分)

 

,∴AM⊥PM             (6分)

(Ⅱ)设,且平面PAM,则

  即

 ,   

,得                    (8分)

,显然平面ABCD,   ∴

结合图形可知,二面角P-AM-D为45°;    (10分)

(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为,由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直,则

=

即点D到平面PAM的距离为              (14分)

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题型:简答题
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简答题

如图所示,一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BCM、N,过墙角DDPACPDQBCQ;若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?

正确答案

“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角(),平板车的长度不能超过,即平板车的长度;记 ,有=

===,                                            10分

此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记,则)或直接求导,以确定函数在上的单调性;

时取得最小值。                    15分

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题型:简答题
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简答题

圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.

正确答案

圆台的高OO1="14" (cm),母线长l=O1O=14 (cm),两底面半径分别为7 cm,21 cm.

 圆台的轴截面如图所示,设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S,

在Rt△SOA中,∠ASO=45°,                   

则∠SAO=45°,

∴SO=AO=3x,∴OO1=2x,

又S轴截面=(6x+2x)·2x=392,∴x=7.

故圆台的高OO1="14" (cm),

母线长l=O1O=14 (cm),

两底面半径分别为7 cm,21 cm.

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题型:填空题
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填空题

在直径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为______.

正确答案

因为直径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,设圆锥的高为:h,

所以tan60°=,h=5.m

故答案为:5m.

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题型:填空题
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填空题

在棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,E为底面BCD上一点,若E到三个侧面的距离分别为3,4,5,则以线段AE为直径的球的表面积为______.

正确答案

根据题意:点E到三个侧面的垂线与侧棱AB,AC,AD围成一个棱长为3、4、5的长方体,

则其外接球的直径即为AE且为长方体的体对角线.

∴2r==5

∴r=

由球的表面积公式得:S=4πr2=50π

故答案为:50π.

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题型:填空题
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填空题

正方体的棱长为1,的中点,为线段的动点,过 的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是     

①当时,为四边形        ②当时,为等腰梯形

③当时,的交点满足   ④当时,为六边形

⑤当时,的面积为

正确答案

①②③⑤

试题分析:如图,当时,,即Q为CC1中点,此时可得

故可得截面APQD1为等腰梯形,故②正确;由上图当点Q向C移动时,满足,只需在DD1上取点M满足AM∥PQ,即可得截面为四边形APQM,故①正确;③时,如图,

延长DD1至N,使,连接AN交A1D1于S,连接NQ交C1D1于R,连接SR,

可证,由1,可得,故可、

,故正确;④由③可知当时,只需点Q上移

即可,此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显然为五边形,故错误;

⑤当时,Q与C1重合,取A1D1的中点F,连接AF,可证,可知截面为APC1F为菱形,故其面积为,故正确.

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简答题

如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .

图5

(1)证明:EB⊥FD;

(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值

正确答案

(2)设平面与平面RQD的交线为.

由BQ=FE,FR=FB知,.

平面,∴平面

而平面平面=

.

由(1)知,平面,∴平面

平面平面

是平面与平面所成二面角的平面角.

中,

故平面与平面所成二面角的正弦值是

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF,截面PQGH

(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;

(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,

并求出这个值;

(Ⅲ)若,求与平面PQEF所成角的正弦值.

正确答案

(Ⅰ)同解析(Ⅱ)截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值.(Ⅲ)

解法一:

(Ⅰ)证明:在正方体中,

又由已知可得

所以

所以平面

所以平面和平面互相垂直.  4分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

,是定值.    8分

(Ⅲ)解:设于点,连结

因为平面

所以与平面所成的角.

因为,所以分别为的中点.

可知

所以.   12分

解法二:

D为原点,射线DADCDD′分别为xyz轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz.由已知得,故

(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

因为,所以是平面PQEF的法向量.

因为,所以是平面PQGH的法向量.

因为,所以

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.  4分

(Ⅱ)证明:因为,所以,又,所以PQEF为矩形,同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得

所以,又

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值. 8分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知是平面的法向量.

中点可知,分别为的中点.

所以,因此与平面所成角的正弦值等于

. 12分

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简答题

如图,在长方体中,,的中点,的中点.

(I)求证:平面;

(II)求证:平面;

(III)若二面角的大小为,求的长.

正确答案

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(III).

试题分析:(Ⅰ)证明平面,就是证明平面,只需证明与平面内的两条直线垂直,即可证明平面;(Ⅱ)证明平面,只需证明与平面的一条直线平行,这里采用证明平行四边形的目的来证明与平面的一条直线平行;(III)借助空间向量法计算当的长.

试题解析:(I)证明:在长方体中,

因为平面,所以.

因为,所以四边形为正方形,因此,

,所以平面.

,且,

所以四边形为平行四边形.

上,所以平面.

4分

(II)取的中点为,连接.

因为的中点,所以,

因为的中点,所以,

,且,

所以,且,

因此四边形为平行四边形,

所以,而平面,

所以平面.

9分

(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,

,

.

由(I)可知平面,所以是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为,则,

所以

,则,所以.

所成的角为,则.

因为二面角的大小为,

所以,即,

解得,

的长为1.                       14分

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填空题

已知三棱柱的体积为为其侧棱上的任意一点,则四棱锥的体积为____________

正确答案

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简答题

(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点。

(1)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;

(2)在CC1上是否存在一点E,使得∠BA1E=45°,若存在,试确定E的位置,并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直?若不存在,请说明理由。

正确答案

(1)∵AB=B1B

∴四边形ABB1A1为正方形,

∴A1B⊥AB1

又∵AC1⊥面A1BD,

∴AC1⊥A1B,

∴A1B⊥面AB1C1,

∴A1B⊥B1C1

又在直棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥B1C1,

∴B1C1⊥平面ABB1A1…………………………………………6分

(2)证明:设AB=BB1=a,CE=x,

∵D为AC的中点,且AC1⊥A1D,

∴A1B=A1C1=a

又∵B1C1⊥平面ABB1A1,B1C1⊥A1B1

∴B1C1=a,BE=

A1E=

在△A1BE中,由余弦定理得

BE2=A1B2+A1E2-2A1B·A1E·cos45°,

即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2·

=2a-x,解得x=a,即E是C1C的中点

∵  D.E分别为A    C.C1C的中点,∴DE∥AC1

∵AC1⊥平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD

又∵PE平面BDE,∴平面ABD⊥平面BDE…………………………12分

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