热门试卷

略

证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，

∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分

以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，

建立空间直角坐标系，则，，，． …………2分

设平面SBC的法向量为，则，，

∵，，∴，∴可取…4分

∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．      ……………5分

∴，

∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．……6分

（Ⅱ）∵，∴，，

又∵，

∴DM⊥SB，        

∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．    ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，

∵，

∴在上的射影为，

∴点D到平面SBC的距离为．………12分

（特别说明：用传统解法每问应同步给分）

略

(1)如图所示，取的中点，连结、，

则有     ，

故是平行四边形，∴∥，

∵平面，平面，

∴∥平面 .   …………………………4分

(2)∵⊥平面，∴⊥，

又⊥，∴AB⊥平面，

∴⊥，即⊥，

又∥，∴⊥ .    …………………………8分

(3)∵⊥平面，∴⊥，

又，是的中点，

∴⊥，即⊥，

又⊥，∴⊥平面，

平面 ∴平面⊥平面.  …………… 12分

略

（1）  略

（2）  略

（3）  

（3）解：依题意: 点G到平面ABCD的距离等于点F到平面ABCD的一半,    …………………11分

即: .                                                    …………………12分

∴.                                   …………………14分

(求底面积对的有1分)

略

⑴取中点，连结，

分别为的中点，    ，且

又正三棱柱，

四边形为平行四边形。

所以 .

⑵正三棱柱，。

平面，，

为的中点，，

， ，

  ；   ，  

   .

(Ⅰ) 平面⊥平面

(Ⅱ) E是PD中点，存在E点使得CE//面PAB

解：不妨设PA = 1.

(Ⅰ)由题意PA = BC =" 1," AD = 2．

∵ PA⊥面ABCD，∴ PB与面ABCD所成的角为∠PBA = 45°．………………2分

∴ AB = 1，由∠ABC = ∠BAD = 90°，易得CD = AC = ．

由勾股定理逆定理得AC⊥CD．……………………3分

又∵ PA⊥CD, PA∩AC = A，∴ CD⊥面PAC,……………………5分

又CDÌ面PCD，

∴ 面PAC⊥面PCD．……………………7分

(Ⅱ)分别以AB, AD, AP所在直线分别为x轴, y轴, z轴

建立空间直角坐标系．∴ P(0, 0, 1), C(1, 1, 0), D(0, 2, 0)．………… 8分

设，则,．…………………… 9分

∵，∴ y·(－1)－2 (z－1) =" 0" … ①…………………………… 10分

是平面的法向量，…………………………… 11分

又，由，∴．…………………………… 12分

∴，∴ y = 1，代入①得z = ． …………………13分

∴ E是PD中点，∴ 存在E点使得CE//面PAB．   …………………… 14分

证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，

∴PA⊥BD，AC⊥BD.

∴BD⊥平面APC，

平面PAC，

∴BD⊥FG                                             …………7分

  （II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD，   …………9分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD.  …………13分

略       

（1）过AF、AB作平面β交PC于点G，连FG、EG，

∵四边形ABCD是矩形，点E在边AB上，∴EA∥CD，

∴EA∥平面PCD， ∴EA∥FG∥CD， 

∵AF∥平面PCE，∴AF∥EG， 则四边形AEGF是平行四边形

又∵F为PD的中点，∴EA=FG=CD，

则点E是边AB的中点. 

（2）延长CE、DA交于点H，作AM⊥HC，垂足为点M；连接AM、PM，作AN ⊥PM，垂足为点N.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥HC，则HC⊥平面PAM，

∴HC⊥AN，则AN ⊥平面PEC；又∵AF∥平面PCE，∴线段AN的长是直线AF到平面PCE的距离. ∵二面角P-CD-B为450，可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角，

∴∠PAD=450.     在Rt△PAD中，∵AD=2，∴PA="2."

又在Rt△HCD中，∵EA =CD，CD=3，∴AH= AD=2.

∵AM⊥HC，∴Rt△HCD∽Rt△HAM，可求得AM=.

在Rt△PAM中，∵S△PAM=PA•AM=AN•PM，∴AN=.   

解法二：以点A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为X、Y、Z轴，建立空间直角坐标系（如图所示），由已知可得A（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），

∵二面角P-CD-B为450，可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角，∴∠PAD=450.

在Rt△PAD中， AD=2，∴PA=2，则P（0，0，2）

又∵F为PD的中点，∴F（0，1，1）

则=（0，1，1），=（3，2，-2） 

∵点E在边AB上，∴设E（λ，0，0），

则=（3-λ，2，0）

设平面PEC的法向量=（x，y，z），由•=0得（3-λ）x+2y=0，

由•=0得3x+2y-2z=0，解得y=，z=；

令x=2，得=（2，λ-3，λ）     

（1）∵AF∥平面PCE，∴•=0，即λ-3+λ=0，∴λ=

则点E是边AB的中点.                                

（2）∵AF∥平面PCE，∴直线AF到平面PCE的距离等于点A到平面PCE的距离d，则d===

略

解：设AB的中点为O，作A1D⊥AB,易见A1D="3" …………1分

A1B⊥A1A

在直角⊿A1AB中，A1O=

又

⊿A1AO为等边三角形.…………………………………………………………4分

在⊿A1AO中A1D=，得………………………………6分

设圆台的上、下底面半径分别为r,R.

，………………………………………8分

上、下底面面积分别为：，

所以圆台的体积为…………………………………………………………………12分

略

（1）略

（2）略

（3）异面直线AE与CD所成的角为

证明：（1）PA⊥底面ABCD  

又∠BAD＝90° 

平面

是斜线在平面内的射影

 AE⊥PD      BE⊥PD

（2）连结

PA⊥底面ABCD  是斜线在平面内的射影

（3）过点作交于，连结，则（或其补角）为异面直线AE与CD所成的角。由（2）知     平面

又    平面     

          异面直线AE与CD所成的角为

（1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC   1分

又平面ABC，    2分

    3分

（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC，

又平面ABC

平面ECBB1    6分

    7分

是棱CC1的中点，

   8分

   9分

  （3）解：CF//平面AEB1，证明如下：

取AB1的中点G，联结EG，FG

分别是棱AB、AB1中点

又

四边形FGEC是平行四边形    11分

    12分

又平面AEB，平面AEB1， 13分

平面AEB1。

略       

（1）中点（2）0（3）M

略

（1）见解析（2）（3）

（1）易得BC垂直平面ABE，则

BF垂直平面ACE，所以

所以AE垂直平面BCD。…………..4’

（2）取AC中点O，连接BO，OF，易得

，再由BF垂直平面ACE得，

所以角BOF即为二面角B—AC—E的平面角或其

补角。…………………………………………..2’

AE垂直BE，所以，则，又，所以二面角B—AC—E的正弦值为……………………………………..3’

（3）解一：易知E到平面ACD的距离d就是E到AB的距离，即d=1

          ………………………………….2’

设D到平面ACE的距离为h，则……...2’

可得，即D到平面ACE的距离为…………………….1’

解二：因为B、D两点关于直线AC对称，所以BD连线中点在平面ACE上，易得B、D两点到平面ACE的距离相等。………………………3’

B到平面ACE的距离即BF长为，

所以D到平面ACE的距离为……………………….……………….

（1）略（2）

（Ⅰ）证明PC⊥底面ABC，又AB=BC,D为AC中点平面ACP平面ACP

，又平面BDE…………4分

（Ⅱ）为PB在平面ABC上的射影为二面角P－AB－C的平面角

作EHAC于H, 则………6分

以D为原点DB,DC所在直线分别为X轴Y轴，平面ABC的垂线为Z轴建立空间直角坐标系D－xyz可得.

设平面BEF的法向量为

可取…………..10分

取平面ABC的法向量平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值为…………12分

解法（二）简答，，，，，