热门试卷

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）二面角的余弦值.

试题分析：（1）利用折叠后点在平面内的射影点在棱上得到平面，从而得到，再结合即可证明平面，进而证明；（2）由（1）中的结论平面并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面；（3）先作，连接，利用（1）中的结论平面得到，于是得到平面，于是得到为二面角的平面角，然后在直角三角形中计算，进而确定二面角的余弦值；另一种方法是利用空间向量法计算二面角的余弦值.

试题解析：（1）在平面上的射影在上，平面，

又平面，，

又，，平面，

又平面，；

（2）四边形是矩形，，

由（1）知，，平面，

又平面，平面平面；

（3）平面，，在中，由，，得，，

过点作，垂足为点，连接，

由平面，，平面，，

为二面角的平面角，

又在和，，，；

另解：以点为坐标原点，以方向为轴，以方向为轴，以平行的方向为轴，建立空间直角坐标系，可知、、，得，，

设平面的法向量为，由，得，

而平面的法向量为，，

结合图象可知二面角的余弦值为.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）先证明平面，再证明 ，再证明平面，从而证明；（Ⅱ）先作辅助线，在中找到，在直角梯形中，，所以，所以，即平面；（Ⅲ）把多面体的体积分成两部分：和.

试题解析：（Ⅰ）连结，∵是正方形，∴.

∵平面平面，，是两平面的交线，

∴平面.而平面，∴.

又∵，

∴平面.而平面，∴.          4分

（Ⅱ）作，，，是垂足.

在中，,.

在直角梯形中，.

∴,∴四边形是平行四边形，∴.

而平面，∴平面.           9分

（Ⅲ）.       13分

(Ⅰ) 证明见解析

(Ⅱ)

解法一：（Ⅰ）平面，平面．．

又，．

，，，即．

又．平面．

（Ⅱ）过作，垂足为，连接．

平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

又，

，

，

又，，．

由得．

在中，，．

二面角的大小为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，

则，，，，，

，，，

，．，，

又，平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为，

则，，

又，，

解得

平面的法向量取为，

，．

二面角的大小为．

（1）见解析（2）AC与平面AEF所成角的正弦值为

方法一：

（1）取PA中点G, 连结FG, DG

 ……(6分)

⑵设AC, BD交于O，连结FO.

设BC=a, 则AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.

设C到平面AEF的距离为h.

∵VC－AEF=VF－ACE, ∴ 

即 ∴ 

∴AC与平面AEF所成角的正弦值为.

即AC与平面AEF所成角为         …（12分）

方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：

设，其中，则，

，

又，

        …（6分）

（2）解：由得，

可得

，

则异面直线AC，PB所成的角为，

，

又，AF为平面AEF内两条相交直线，

，

AC与平面AEF所成的角为，

即AC与平面AEF所成的角为        …（12分）

（1）证明见解析。

（2）

（3）

19．解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，

，………………………………（2分）

（Ⅱ）

，

………．．（5分）

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即…………………．．（10分）

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心…………………………．．（12分）

方法二：

，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，

设，则

（Ⅰ）D为PC的中点，

，

又 ，

（Ⅱ），即，

可求得平面PBC的法向量，

，

设PA与平面PBC所成的角为，则

，

（Ⅲ）的重心，

，

，

又，

，即，

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)

（Ⅰ）连结BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

因为SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以AC⊥SD．……2分又因为SDBD=D，

所以AC⊥平面BDS． 4分因为BE平面BDS，所以⊥．……6分

（Ⅱ）因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD．因为底面ABCD是正方形，

所以AD⊥CD．又因为SDAD=D，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥AS．…8分过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连结CF．由于，DFCD=D，所以AS⊥平面DCF。所以AS⊥CF．故∠CFD是二面角C—AS—D的平面角． 10分在Rt△ADS中，，，可求得．

在Rt△CFD中，，，可求得．

所以．即二面角C—AS—D的余弦值为．… 12分

（1）见解析（2）（3）

（1）证明：取AB，CD的中点为P，Q。

连结PQ，EQ，FP。

则P，O，Q三点共线

且PQ//BC又因为EF//BC所以有EF//PQ且FP=EQ。所以EFPQ为等腰梯形。

所以有MO^PQ，CD ^EQ

CD^PQ，PQÇCQ=Q

所以CD^平面EFPQ

所以CD^MO，又CD和PQ相交，

所以有MO^面ABCD¼

（2）由（1）可知ÐEQP为二面角E-CD-A的平面角

过E点作EN^PQ于点N，则N为OQ的中点。

cosÐEQP= 

（3）因为AB//平面CDE

所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离。过

点P作PH^EQ于点H，则PH^CD，又CD交EQ于Q。

所以PH^平面CDE。

所以PH的长为点P到平面CDE的距离。

由cosÐEQP=得，

PH=PQsinÐEQP=

（1）略； (2)；（3）N为线段CE上靠近C点的一个三等分点.

试题分析：（1）由且可得，所以有

，同理可得,，所以.

（2）四棱锥的体积，四棱锥的高即点E到AB的距离，所以，四棱锥E-ABCD的体积为.

（3）在三角形ABC过M点作交于点，在三角形BEC中过G点作交EC与N点，连MN，则由比例关系易得,  同理， 又 N为线段CE上靠近C点的一个三等分点.

试题解析：(1) 且

   又 

 .

（2）因为 四棱锥的高即点E到AB的距离，

在直角三角形中ABE中，,所以，.四棱锥E-ABCD的体积为.

（3）在三角形ABC过M点作交于点，在三角形BEC中过G点作交EC与N点，连MN，则由比例关系易得,  同理， 又 N为线段CE上靠近C点的一个三等分点.

（Ⅰ) ；（Ⅱ)参考解析； （Ⅲ)参考解析.

试题分析：（Ⅰ) 通过已知条件说明直线AE,AD,AB两两垂直，从而建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标并写出相应的向量.异面直线所成角的问题是转化为两向量所成角的问题.通过计算向量所成角的余弦值的绝对值得到对应的异面直线所成角的余弦值，从而求出异面直线所成的角.（Ⅱ)线面所成的角本题较简单是通过直线平行于平面内的一条直线.直线与平面平行还有一种常用的方法就是，该直线与平面的一条法向量垂直，这种方法常用在平面内很难找出一条直线与已知直线平行.（Ⅲ)本小题的平面与平面垂直的判定方法是通过证明AM垂直于平面CBE.又因为直线AM在平面CAM内，所得到的两平面垂直.这类题型还有一种方法就是求出两平面的法向量，证明它们的数量积为零.本题较容易，当然本题不建立坐标系同样好做.立几知识尽量建立坐标系完成，另外线面的关系可以在解题中帮助我们思路及计算更加清晰.

试题解析：（Ⅰ)解：∵,,

∴,又

∴面

为等腰直角三角形且

∴

两两垂直

分别以所在直线为轴，

建立空间直角坐标系如图：

则，

，

∴

∴

∴与所成角的大小为      4分

（Ⅱ) ∵，为中点

∴，而

∴

∴与共线，

面，面

∴平面       8分

Ⅲ)面

面

∴

∴

又为等腰直角三角形且为斜边中点

∴

∴面

又面

∴平面平面     12分

（1）证明见解析。

（2）证明见解析。

（3）存在

证明：（1）连BD，∵面ABCD为菱形，∴BD⊥AC

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，

则BD⊥平面AA1C1C 故： BD⊥AA1

（2）连AB1，B1C，由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知

AB1//DC1，AD//B1C，AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D

由面面平行的判定定理知：平面AB1C//平面DA1C1

（3）存在这样的点P

因为A1B1∥AB∥DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形．

∴A1D//B1C

在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，

因B1B∥CC1，∴BB1∥CP，∴四边形BB1CP为平行四边形

则BP//B1C，∴BP//A1D∴BP//平面DA1C1

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：∵三棱柱是直棱柱，

∴平面．

又∵平面，∴ ．

∵，，是中点，

∴．

又∵∩，∴平面．

（Ⅱ）解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,．

设，平面的法向量，

则,．

且，．

于是

所以取，则

∵三棱柱是直棱柱，

∴平面．又∵平面，

∴ ．∵，

∴．∵∩，

∴平面．

∴是平面的法向量，．

∵二面角的大小是，

∴．

解得．∴．

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）根据AE是圆柱的母线，所以下底面，又下底面，则 

又截面ABCD是正方形，所以⊥，又⊥面，又面，即可得到BC⊥BE；

（Ⅱ）根据锥体的体积公式即可求四棱锥E-ABCD的体积．

试题解析：（Ⅰ）AE是圆柱的母线，

下底面，又下底面，           .3分

又截面ABCD是正方形，所以⊥，又

⊥面，又面，             （7分）

（Ⅱ）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高      （8分），

由（Ⅰ）知⊥面，面，面⊥面，

又面面，面，

面，即EO就是四棱锥的高       （10分）

设正方形的边长为, 则，

又，为直径，即

在中，,   即

，                          （12分）