热门试卷

（1）详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接，找到与的交点为的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）先证明平面，得到，再由已知条件证明，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明平面.

试题解析：（1）连接交于点，连接，

因为底面是平行四边形，所以点为的中点，

又为的中点，所以，                     4分

因为平面，平面，所以平面        6分

（2）因为平面，平面，所以，         8分

因为，，平面，平面，所以平面，

因为平面，所以，                     10分

因为平面，平面，所以，           12分

又因为，，平面，平面，

所以平面                              14分

略

解：设圆柱下底面圆的半径为，连，

由矩形内接于圆，可知是圆的直径，

于是，得，  ……………3分

又圆柱的体积，可得．……6分

分别以直线为轴，建立空间直角坐标

系，可得，………8分

设异面直线与所成角所成的角，向量与的夹角为，

则，

故异面直线与所成角的余弦值为．    ………………………………12分 

略

证明：（1）连结交与，连结.

∵底面是正方形，

∴点是的中点. 

又∵是的中点

∴在△中，为中位线 

∴∥.                                              …3分

而平面，平面，

∴∥平面.                                        …6分

（2）由⊥底面，得⊥.

∵底面是正方形，

∴⊥，

∴⊥平面.  而平面，

∴⊥.①                                          …8分

∵，是的中点，

∴△是等腰三角形， ⊥.②                    …10分

由①和②得⊥平面.

而 平面，

∴⊥.                                            …12分

又⊥且=，

∴⊥平面.                                       …13分

略

(I)详见解析；（II）详见解析；（III）点位于点处，此时；或中点处，此时.

试题分析：(I)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，线和面内两相交直线垂直，则线垂直面；(II)线与面内一直线平行，则线面平行；(III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦.

试题解析：【方法一】

（Ⅰ）证明：由俯视图可得，，

所以．          1分

又因为 平面，

所以 ，         3分

所以 平面．                                         4分

（Ⅱ）证明：取上一点，使，连结，．       5分

由左视图知 ，所以 ∥，．      6分

在△中，易得，所以 ．又 ， 所以， ．

又因为 ∥，，所以 ∥，．

所以四边形为平行四边形，所以 ∥．               8分

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面．                                     9分

（Ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：10分

因为 平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．

所以 ．

设 ，其中．                                    11分

所以，．

要使与所成角的余弦值为，则有 ，   12分

所以 ，解得 或，均适合．  13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．                                                        14分

【方法二】

（Ⅰ）证明：因为平面，，建立如图所示

的空间直角坐标系．

在△中，易得，所以 ，

因为 ， 所以， ．

由俯视图和左视图可得：

．

所以 ，．

因为 ，所以．         2分

又因为 平面，所以 ，                     3分

所以 平面．                                         4分

（Ⅱ）证明：设平面的法向量为，则有

因为 ，，

所以   取，得．                6分           

因为 ，

所以 ．                        8分

因为 平面，

所以 直线∥平面．                                     9分

（Ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：10分

设 ，其中．                                    11分

所以 ，．

要使与所成角的余弦值为，则有 ，  12分

所以 ，解得或，均适合．   13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．                                                        14分

解：（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，所以． 

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，    

所以平面．                         ……..（5分）                    

（Ⅱ）如图，过作，交的延长线于．因为，则底面，连，所以就是直线与底面所成角．又因为，，所以．所以．                         ….. …….. …....（10分）      

略

【解】⑴

……4分

(2)为二面角的平面角，

故，又为与底面所成的角，从而，

设侧棱长为，由于

，

则，类似地

.在中，，即. 8分

这样为等边三角形，取的中点，以为原点，如图建立空间直角坐标系.易知

，故，

设面的法向量为，则，

可取，又，，

故点到侧面的距离为，

而侧面，故与侧面的距离为.…………………12分

略

略

略

证明：（1）………2分

……………………………………………4分

又，…………………………………………5分

又 …………………………………………………6分

（2）连结于点，连结.

分别为的中点，

∥，………………………………………………9分

,

…………………………………………12分

略

解：

（I）证明：

已知是正三棱柱，取AC中点O、中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．

∵，，

∴     

∴   

∴ 

于是，有、．

又因AB与AE相交，故面ABE．…………… 6分

（II）解：

由（1）知，是面ABE的一个法向量，．

设是面ADE的一个法向量，则

  ①

          ②

取，联立式①、②解得，，则．

因为二面角是锐二面角，记其大小为．则

所以，二面角的大小（亦可用传统方法解（略））．

……………………………… 12分

略