热门试卷

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角的正切值为

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                           …………………2分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC1，又平面BCC1        ……………………………………4分

∴ AC⊥BC1            ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接        …………6分

是中点，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴ 又且

∴平面，平面         ………8分

∴  又

∴是二面角的平面角      ……………………………………10分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在中，，，

∴      …………………………………………11分

∴二面角的正切值为  …………………………………………12分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………8分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小  …………9分

则由  令，则，

∴                                          ………………10分

，则  　 ……………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为             ………………………… 12分

同解析

（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；

∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，

∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；

又∵正六边形ABCDEF的边长为1，

∴，，。

过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，

所以为所求二面角平面角。

在中，OH=，=。

在中，；

而

（1）证明略

（2）证明略

（3） 

（1）连结AC交BD于O，由正方形ABCD得，O是AC的中点，又E是PC中点，∴EO∥PA，又PA平面DEB，OE平面DEB，∴PA∥平面DEB。

（2）侧棱PD底面ABCD，∴ PD BC，底面ABCD是正方形∴CDBC，又PD∩CD=D，

∴BC平面PCD，DE平面PCD，∴BCDE，又由PD=DC，E是PC的中点得，DEPC，而PC∩BC=C，∴DE平面PCB，则DEPB，又EFPB，DE∩EF=E，所以PB平面EFD。

（3）由题意得DC=1，在正方形ABCD中，，由侧棱PD底面ABCD得PDBD，由PB平面EFD得PB平面DF。则，所以，。

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵点分别是、的中点，

∴ ．        …… 2分

∴ ∠．

∴ 又⊥，

∴  ∴                                                   

∵ ,

∴ ⊥平面．           …… 4分

∵ 平面,

∴ ．                     …… 6分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．

则（－1，0，0），（－2，1，0），

（0，0，1）．∴=（－1，1，0），

=（1，0，1）,        ……8分

设平面的法向量为，则

 ……10分

令，得，

∴ ．

显然，是平面的一个法向量=（）．       

∴  cos<，>=． 

∴ 二面角的余弦值是．       ………………12分

(1)设，则    

(2)略

(3)二面角为45°.

解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则，，

(1)直三棱柱中，

平面的法向量，又，

设，则           

（2）设，则，

，∴  ，即 

（3）∵，则，设平面的法向量， 则，取，

∵，∴，又，

∴平面的法向量，∴，

∴二面角为45°.      

（1）（2）（3）

在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系

由已知可得，

又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得

（I）因为所以=

易知异面直线所成的角为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由

即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为 

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，

所以距离=所以点到平面的距离为

（Ⅰ）（Ⅱ）45°（Ⅲ）

以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，）.

（1），

故直线PD与BC所成的角的余弦值为

（2）设平面PAB的一个法向量为，

由于

由

取的一个法向量

又二面角P—AB—C不锐角.

∴所求二面角P—AB—C的大小为45°

（3）设三点共线，

                     （1）

               （2）

由（1）（2）知  

故

（1）证明见解析 （2）

（1）连结AB1交于A1B于点E，连结ED.

∵侧面ABB1A1是正方形  ∴E是AB1的中点

又∵D是AC的中点  ∴ED∥B1C

∴B1C∥平面A1BD………………4分

（2）取A1C1的中点G，连结DG，则DG⊥A1C1

∵AB=BC   ∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面A1C1D

∴BG⊥A1C1

∴∠BGD为二面角B—A1C1—D的平面角………………8分

∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥BD，又∵CC1⊥平面ABCD，且AC1在平面ABC的射影为AC，∴AC⊥BD

∵AB=BC且D为AC中点，∴AB⊥BC  且BD=AB

又∵DG=A1A=AB

∴BG=AB    ∴……………………12分

(Ⅰ)同解析(Ⅱ)二面角的大小为．

(Ⅰ)如图，建立空间直角坐标系．

设，则，

G

．

取的中点，则．

平面平面，

所以平面．

(Ⅱ)设，则．

中点

又，，

所以向量和的夹角等于二面角的平面角．

．

所以二面角的大小为．

①AB是AC在平面β上的射影，由AC⊥BD得AB⊥BD．∵α⊥β．∴DB⊥α．

②由AB=AC，且E是BC中点，得AE⊥BC，又AE⊥DB，故AE⊥平面BCD，因此可证得平面AED⊥平面BCD．

③设F是AC中点，连BF，DF．由于△ABC是正三角形，故BF⊥AC．又由DB⊥平面α，则DF⊥AC，∠BFD是二面角B－AC－D的平面角，

在Rt△BFD中，．

这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5cm

 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.

∵A1B1="4" cm，AB="16" cm，

∴O1E1="2" cm，OE="8" cm，

O1B1=2 cm，OB=8 cm，

∴B1B2=O1O2+（OB-O1B1)2="361" cm2，

E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2="325" cm2，

∴B1B="19" cm，E1E=5cm.

答 这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5cm.

三角形的面积为

如图所示，△ABE为题中的三角形，

由已知得AB=2，BE=2×=,

BF=BE=,AF===,

∴△ABE的面积为

S=×BE×AF=××=.

∴所求的三角形的面积为.