热门试卷

18．解：

方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体中，面，

又∴平面平面， ………………2分

∵时，为的中点，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面．………4分

（Ⅱ）∵，为线段上的点，

∴三角形的面积为定值，即，

………………6分

又∵平面，∴点到平面的距离为定值，即， ………………8分

∴三棱锥的体积为定值，即．

也即无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；………………………10分

（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，

又平面，∴，             …………………………12分

即异面直线与所成的角为定值，从而其余弦值为．…………………13分

方法二、如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系．

（Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、

∴，，设平面的法向量为，……1分

则，即，令，解得，        …2分

又∵点为线段的中点，∴，∴平面，

∴平面的法向量为，           ……………3分

∵，

∴平面平面，           ………………………4分

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）∵，∴，  …………………10分

又、、，

∴，，   ……………………………11分

∵   …………………………………12分

∴不管取值多少，都有，即异面直线与所成的角的余弦值为0.……13分

略

略

略

证明：（１）可证

（２）设，交于

可证

所以

（Ⅰ）V＝．

（Ⅱ）略

（Ⅲ）略

解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴SABCD＝

．……………… 3分

则V＝．    ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．           ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．      ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．  ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB． ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．  ……… 15分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C为ND的中点．        ……12分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．  ……… 15分

（I）

（II）连结AC、BD交于G，连结FG，

∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，

在直角三角形BCE中，CE=

在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，

∴二面角B-AC-E为

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为

另法：过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h， 

平面BCE， 

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE，，

在的中点，

 设平面AEC的一个法向量为，

则

解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

略

（1）证明：取的中点，连结．

∵为的中点，∴且．

∵平面，平面，

∴，∴． 

又，∴． …………3分

∴四边形为平行四边形，则．……………5分

∵平面，平面，∴平面．…………7分

（2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴…………9分

∵平面，，∴．……………10分

又，∴平面．……………………………12分

∵，∴平面．…………………………………13分

∵平面，∴平面平面．………………14分

略

见解析

(1)取PC中点G，连接FG、EG。

因为F、G分别为PD、PC的中点，

所以FG∥CD且FG=CD，

又AE∥CD且AE=CD，

所以，FG∥AE且FG=AE，

四边形AEGF为平行四边形，

因此，AF∥EG，又AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE。

(2) 由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，

又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD⊥AF。

又PA⊥AD，F为PD的中点，则AF⊥PD，

因此，AF⊥平面PCD。

而AF∥EG，故EG⊥平面PCD，

又EG⊂平面PCE，所以，平面PCE⊥平面PCD。

(1)略

(2) 当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC

(3)

（1）连结CG并延长交PA于H，连结BH

∵G是△PAC的重心    ∴CG:GH="2:1  "

∵CF:FB="2:1   " ∴CG:GH=CF:FB   ∴FG∥BH

∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥AC   ∴AC⊥平面PAB

∴    AC⊥BH  ∵FG∥BH  ∴FG⊥AC ------------4分

（2）如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系

∵AB=AC=2且AB⊥AC ∴∠ACB=45° 在直角梯形ABCD中  

∵∠BCD=90°   ∴∠ACD=45°∵AC="2   " ∴AD=CD=   

∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥CD   ∵CD⊥AD   ∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD   ∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角

∴A(0,0,0)  C(,,0)  D(0,,0)  B(,,0)

设P(0,0,) ∴H(0,0,)  E(,,)  

∵FG⊥平面AEC   ∴FG⊥AE∵FG∥BH   ∴BH⊥AE

∴=(,,)   =(,,)

∴   ∴   ∴PA= 

∴∠PDA="2 " ∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC   ------8分

（3）∵BH∥FG   ∴FG与平面PBC所成的角等于BH与平面PBC所成的角

∵=（，，） =（0，，0） =（，，）

设平面PBC的法向量=(x,y,z)   ∴   ∴ 令z="1 " ∴=(2,0,1)

∴   设直线FG与平面PBC所成的角为

∴   ∴直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 --12分

（I）同解析，（II）二面角A1-ED-C1的余弦值为（III）点C1到平面A1ED的距离为（

解：（I）证明：连结BD，在菱形ABCD中，∠BAD=600，∴△ABD为正三角形，

∵E为AB的中点，∴ED⊥AB （1分）

在直六面体ABCD-A1B1C1D1中：

平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB，∵ED面ABCD∴ED⊥面ABB1A1（3分）

∴平面A1ED⊥平面ABB1A1（4分）

（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB1A1∵A1E面ABB1A1∴A1E⊥ED

又在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AA1⊥面ABCD，

由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，∴∠A1EA=600（5分）

取BB1的中点F，连EF．AB1，则EF，在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AB1DC1∴EF∴E．F．C1、D四点共面（6分）

∵ED⊥面ABB1A1且EF面ABB1A1

∴EF⊥ED∴∠A1EF为二面角A1-ED-C1的平面角（7分）

在Rt△A1AE中：，

在Rt△EBF中：，

在Rt△A1B1F中：

∴在Rt△A1EF中：，∴二面角A1-ED-C1的余弦值为（9分）

（III）过F作FG⊥A1E交A1E于G点∵平面A1ED⊥面ABB1A1

且平面A1ED∩面ABB1A1=A1E∴FG⊥平面A1ED，

即：FG是点F到平面A1ED的距离（11分）

在Rt△EGF中：∴

∴（13分）

∵EF且E．D∈面A1ED∴点C1到平面A1ED的距离为（14分）

在AP上存在点G，且

（1）证明：连结AF，

∵在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，F是线段BC的中点，

∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，∴∠DFC=45°，同理可得∠AFB=45°，

∴AF⊥FD。

又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD，∵AF∩PA=A

∴FD⊥平面PAF，∴PF⊥FD。…………6分

（2）在AP上存在点G，

且，使得EG//平面PFD，

证明：取AD中点I，取AI中点H，连结BI，EH，EG，GH，

四边形BFDI是平行四边形，

∴BI//FD

又∵E、H分别是AB、AI的中点，

∴EH//BI，∴EH//FD

而EH平面PFD，∴EH//平面PFD

，∴GH//PD

而GH平面PFD，∴HG//平面PFD。

又∵EH∩GH=H，

∴平面EHG//平面PFD，

∴EG//平面PFD。

从而点G为所求 ………………12分

（1）见解析（2）45°（3）到平面的距离是

（1）过作于连接

侧面

。

故是边长为2的等边三角形。又点，又是在底面上的射影，

（法一）（2）就是二面角的平面角，和都是边长为2的正三角形，又即二面角的大小为45°

（3）取的中点为连接又为的中点，，又，且在平面上，又为的中点，又线段的长就是到平面的距离在等腰直角三角形中，，，，即到平面的距离是

（Ⅰ）   （Ⅱ） 

（Ⅰ）在中，因为，，

则，.                       （2分）

在中，因为，，

则，.          （3分）

所以.  （5分）

故.                               （6分）

（Ⅱ）取的中点，连结，则，所以平面.

过作于，连接，则为二面角的平面角. （9分）

因为为的中点，，，则.      （10分）

又，所以，即.

故二面角的大小为.                                （12分）