热门试卷

（1）（2）

方法一：（Ⅰ）取BC的中点N，连结MN.

由已知，PMCN，则MNPC，所以MN⊥平面ABC.                           

过点N作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，

由三垂线定理知，AC⊥MH.

所以∠MHN为二面角M－AC－B的平面角.                                     

连结AN，在△ACN中，由余弦定理，得.

由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.                        

在Rt△CHN中，.                                      

在Rt△MNH中，.

故二面角M－AC－B的正切值是.                                         

（Ⅱ）因为四边形PCNM为正方形，MN⊥平面ABC，则

.         

方法二：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，

按如图所示建立空间直角坐标系.                                     

设点，由已知可得，点，

，则.

因为直线AM与直线PC所成的角为60°，则

，即.

解得z0＝1，从而.                             

设平面MAC的一个法向量为n，则，即.

取，则n.                                                

又m＝(0，0，1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与n的夹角为θ，则.

从而，.                                            

显然，二面角M－AC－B的平面角为锐角，故二面角M－AC－B的正切值是.  

（Ⅱ）因为a＝(1，0，0)为平面PCM的一个法向量，，则

点A到平面PCM的距离.                                     

又PC＝PM＝1，则.     

见解析

⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，

∴中，，            

，∴，

又∵

∴平面                     

⑵平面平面，交线为，

∵，

∴平面，                  

∴，

又∵，

∴                   

见解析

解法一：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，

     所以BC⊥平面ACC1A1.连结AC1，则BC⊥AC1.                          

     由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.                             

     又，所以AC1⊥平面A1BC.

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点.

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.  故MN⊥平面A1BC.                                                         

     （Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角.                            

       设AC＝BC＝CC1＝a，则，.                           

在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝，                                    

所以∠C1BD＝30º，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º.                   

解法二：（Ⅰ）据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，

CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

直角坐标系，如图设AC＝BC＝CC1＝a，则

，

， 

所以，，.

于是，，即MN⊥BA1，MN⊥CA1.

又，故MN⊥平面A1BC.

（Ⅱ）因为MN⊥平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，又，

则，所以.

     故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º.

（1）略（2）

解：（1）当时，在区间上是增函数，

当时，，，

函数在区间上是增函数，

综上得，函数在区间上是增函数.        ………………6分

(2)

令  ………………10分

设方程（*）的两个根为（*）式得，不妨设.

当时，为极小值，所以在[0，1]上的最大值只能为或；      ………10分

当时，由于在[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为，

所以在[0，1]上的最大值只能为或，              ……12分

又已知在处取得最大值，所以

即.      …………14分

12

（1）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，

又俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，，

由余弦定理可得

又∵BC⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴BC⊥平面ACC1A1

∵AC1平面ACC1A1，∴BC⊥AC1

（2）连BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，连DM，则DM∥AC1              

∵DM平面DCB1，AC1平面DCB1，∴AC1∥平面CDB1  

（3）左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d

 ∴左视图的面积

（1）略（2）略

证明（1）：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= AD=2，故四边形ABCD是正方形，AP⊥DP，又∵D1D⊥面ABCD，AP面ABCD∴D1D⊥AP ，D1D∩DP=D∴AP⊥面BDD1B1  ∵AP面AD1C

∴面BDB1D1⊥面ACD1  ----7分

解（2）：记A1C1与B1D1的交点为Q，连BQ，

∵P是AC的中点，∴D1P∥BQ，要使得EF∥D1P，则必有EF∥BQ

在△QBC1中，E是BC1的中点， F是QC1上的点，EF∥BQ

∴F是QC1的中点，即3C1F=FA1，故所求m的值是． ----14分

点评：本题考查空间想象能力、逻辑推理能力，线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直，属于中档题，

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

试题分析：(Ⅰ)证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题，即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面.然后将线面垂直问题转化为线线垂直问题，即该直线与平面中的两条相交直线垂直.在本题中，我们选取的是平面中的直线，因为易知，那么只需要在平面再找一条直线垂直于即可.因为底面是平行四边形,且,,,为的中点，所以可以证，从而得证；(Ⅱ)求异面直线所成角，一般将两条异面直线平移到一个公共点上以便求出其夹角.这里，我们选择将直线平移至点，所以需要取的中点,连接，易知即所求，将其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通过建立空间直角坐标系用向量来解决.其中前两问又可以用向量来解决.第一问的面面垂直可以用两个平面的法向量垂直来证明，即法向量的数量积为0，第二问用向量的夹角公式直接解出（需注意异面直线角的范围）.二面角同样可以用两个半平面的法向量的夹角解决，不过这里要注意所求的二面角是锐角还是钝角，从而选择是法向量夹角还是其补角为所求.

试题解析：(Ⅰ)依题意,,

所以是正三角形,

又 

所以,     2分

因为平面,平面,所以     3分

因为,所以平面     4分

因为平面,所以平面平面      5分

(Ⅱ)取的中点,连接、,连接,则

所以是异面直线与所成的角      7分

因为,,

所以,, 

所以     9分

解法2：以为原点，过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立右手空间直角坐标系.

设

则，，

(Ⅰ)设平面的一个法向量为，

则

，取，则，从而，

同理可得平面的一个法向量为，

直接计算知，所以平面平面.

(Ⅱ)由即       

解得                                                        

, 

所以异面直线与所成角的余弦值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为 

又,设平面的法向量则得     11分

设二面角的平面角为,且为锐角

则     13分

所以二面角的余弦值为     14分

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ) 利用条件证明，，即可证平面平面；(Ⅱ)三棱锥D-ABP和三棱锥B-PCD有相同的高，只需求三角形ABD和三角形BCD的面积比，就可得结论.

试题解析：证明：(Ⅰ),AC为公共边，

 ，       2分

则BO=DO,又在中，,所以为等腰三角形.  ,    4分

而面，，又面，

又面，平面平面.        6分

(Ⅱ) 在中，，，则,

，，        8分

，,       10分

  .        12分

解：（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角，……………………2分

在中，

    ………………………………………4分                                                                                                                    

（Ⅱ）由，

，  又BC∩CD=C平面．………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面ACE∩平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角．…12分

方法二：设点到平面的距离为，

∵             

 于是与平面所成角的正弦为  ．

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 则．

设平面的法向量为，则，，

取，则， 于是与平面所成角的正弦即

． 

略

⑴略；⑵略；⑶

（1）取PD的中点为M，连结ME，MF，因为E是PC的中点，所以ME是△PCD的中位线．所以ME∥CD，ME＝．又因为F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，AB∥CD，AB＝CD，所以ME∥FB，且ME＝FB．所以四边形MEBF是平行四边形，所以BE∥MF．

连结BD，因为BE平面PDF，MF平面PDF，所以BE∥平面PDF．

（2）因为PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，所以DF⊥PA．

连结BD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以△DAB为正三角形．

因为F是AB的中点，所以DF⊥AB．

因为PA，AB是平面PAB内的两条相交直线，所以DF⊥平面PAB．

因为DF平面PDF，所以平面PDF⊥平面PAB．

（3）因为E是PC的中点，所以点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，故＝＝，又＝×2×＝，E到平面DFC的距离h＝＝，所以＝××＝．

略