- 空间几何体
- 共15406题
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；
④M在平面A1B1C1D1上到点D和C1的距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1，
其中真命题的序号是______．
正确答案
①③④
解析
②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确．
③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P-AD1-C的大小不受影响，所以正确．
④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴M点的轨迹是一条与直线DC1平行的直线，而DD1=D1C1，所以正确．
故答案为：①③④
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当
正确答案
解：（1）∵CD∥AB，AB⊂平面SAB，
∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF．
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD，
又SD⊥面ABCD，
∴SD⊥CD，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，
∴EFCD为直角梯形．
（2）当 
∵AB=a，
∴
∴
∴SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∴BC⊥平面SBD．
在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，
∴MD⊥SB．
∴MD⊥平面SBC，MC⊂平面SBC，
∴MD⊥MC，
∴△DMC为直角三角形．
解析
解：（1）∵CD∥AB，AB⊂平面SAB，
∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF．
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD，
又SD⊥面ABCD，
∴SD⊥CD，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，
∴EFCD为直角梯形．
（2）当
∵AB=a，
∴
∴
∴SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∴BC⊥平面SBD．
在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，
∴MD⊥SB．
∴MD⊥平面SBC，MC⊂平面SBC，
∴MD⊥MC，
∴△DMC为直角三角形．
已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A-BCD，如图所示，给出下列结论：
①四面体A-BCD体积的最大值为
②四面体A-BCD外接球的表面积恒为定值；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为
其中正确的结论有______（请写出所有正确结论的序号）．
正确答案
②③④
解析
解：①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，四面体A-BCD体积的最大值为
②三棱锥A-BCD外接球的半径为
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正确；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为
作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=
同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=
在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，
则AH=EF=
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，
即CH=CF=
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
则AC=
故答案为：②③④．
棱长为a的正四面体中，高为h，斜高为m，相对棱间的距离为d，则a、m、h、d的大小关系正确的是（ ）
正确答案
解析
解：先判断棱长与斜高的关系，根据直角三角形斜边大于直角边得到a＞m，
斜高与高之间的关系同理可得m＞h，
在过相对棱之间的距离的面且垂直与一条棱的面上，两条边上的高比较大小，可以利用勾股定理来做，
出大小，h＞d
综上可知a＞m＞h＞d
故选A
从正方体的8个顶点中任选两个顶点相连所得的直线中，相交直线有______对．
正确答案
180
解析
解：从一个顶点出发共有7条直线，任选两条都相交，必共面，共有
从8个顶点出发的共面直线一共8×21=168对；
同一个面的两条对角线相交于一点，这样的有6对；
所有的体对角线相交于一点，体对角线共有4条，所以有
所以相交直线有168+6+6=180对，
故答案为：180．
正确答案
J与N；A、M与D；H与E；G与F；B与C．
解析
J与N；A、M与D；H与E；G与F；B与C．
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，M是BC边的中点，在侧棱CC1上是否存在点N，使异面直线AB1与MN所成的角为90°？如果存在，请指出
正确答案
解：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的长度都是2，
∴A（0，0，0），B1（1，
设在侧棱CC1上是否存在点N（0，0，z），使得异面直线AB1与MN所成的角为90°，
∴
∵异面直线AB1与MN所成角为90°，
∴-
解得z=3，不合题意．
∴在侧棱CC1上是不存在点N，使异面直线AB1与MN所成的角为90°．
解析
解：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的长度都是2，
∴A（0，0，0），B1（1，
设在侧棱CC1上是否存在点N（0，0，z），使得异面直线AB1与MN所成的角为90°，
∴
∵异面直线AB1与MN所成角为90°，
∴-
解得z=3，不合题意．
∴在侧棱CC1上是不存在点N，使异面直线AB1与MN所成的角为90°．
正确答案
解析
所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．
故选B．
给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
可以判断①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；错误．
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；底面不一定是正多边形．错误．
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；底面不一定是正多边形．错误．
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥；底面不一定是正多边形．错误．
故选A．
三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC，则顶点P在底面三角形的射影是底面三角形的（ ）
正确答案
解析
连接OA，OB，OC，
∵PA=PB=PC，
∵PO⊥底面ABC，
PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
所以O为三角形的外心．
故选B．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据题意，可得
对于A，展开图中的上下两边的正方形的对边中点连线应该呈左右方向显现，
故A的图形不符合题意；
对于B，展开图中最右边的“日”字形正方形的对边中点连线应该是上下方向呈现，
且应该在含有圆形的正方形的左边放置，故B的图形不符合题意；
对于C，展开图中最右边的正方形应该与含有圆形的正方形相邻，
故C的图形不符合题意；
对于D，沿如图的红线将正方体的侧面剪裁，展开可得如D项图的形状，故D的图形符合题意
故选：D
如图，在下列几何体中是棱柱的有（ ）
正确答案
解析
解：由棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行．
可知：图（1）为三棱柱；图（3）为六棱柱；图（4）为三棱柱．
∴题中所给的几何体是棱柱的有3个．
故选：C．
（1）求证：S-ABC为正三棱锥；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．
正确答案
（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；
顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．
作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D．
因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．又侧棱与底面所成的角都相等，
从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S-ABC为正三棱锥．
（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
所以SO=
BC=2BD=2ADcot60°=
在Rt△SOD中，SD2=SO2+OD2=（
于是，（SS-ABC）全=
解析
（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；
顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．
作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D．
因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．又侧棱与底面所成的角都相等，
从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S-ABC为正三棱锥．
（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
所以SO=
BC=2BD=2ADcot60°=
在Rt△SOD中，SD2=SO2+OD2=（
于是，（SS-ABC）全=
正确答案
解析
∴AP⊥PE，AP⊥PF，PE⊥PF，
∴AP⊥面PEF，
VA-PEF=
∵S△AEF=
∴根据VA-PEF=VP-AEF，
即：
d=
故答案为：
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：如图所示：
A．如图（1）符合条件但却不是棱柱；
B．图中PA⊥底面ABC，
AB是圆O的直径，点C是圆上的一点，则四个面都是直角三角形，符合题意；
C．其侧棱不相较于一点，故不是棱台；
D．以直角三角形的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥．
综上可知：只有B正确．
故选B．
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