热门试卷

解：（Ⅰ）以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则

.……………4分

（Ⅱ）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则

即，得，从而，…7分所以点到平面的距离为

……9分

（Ⅲ）, .

与平面所成角的正弦值.……………12分

略

（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分

以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．            …………2分

设平面SBC的法向量为，则，，

∵，，∴，∴可取…4分

∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．      ……………5分

∴，∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．……6分

（Ⅱ）∵，∴，，又∵，

∴DM⊥SB，        ∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．    ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，∵，

∴在上的射影为，∴点D到平面SBC的距离为．………12分

略

略

（1）证明:连结.

在正方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

.

.                                                      …………2分

又B1D1平面，平面，

  EF∥平面CB1D1.                                                …………4分

（2）证明: 在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，

而B1D1平面A1B1C1D1，

 AA1⊥B1D1.

又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

 B1D1⊥平面CAA1C1.                  …………6分

又 B1D1平面CB1D1，

平面CAA1C1⊥平面CB1D1．             …………8分

（3）最小值为 .                    …………9分

如图，将正方体六个面展开成平面图形，                             …………10分

从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为 .                                            …………12分.

略

（1）证明：平面，。

又平面u

分别为的中点，。

平面，

平面，平面平面。

（2）解：过作于，连结,

由（1）可得平面，       

为直线与平面所成角。

在中，为中点，

。

 在中， 。

在中， .

在中，,

与平面所成角的正弦值为。

略

(1)

(2)

(3)

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四边形，∴  MN="PQ."

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴  AC=BF=，

即 

                         ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当

即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 ………………9分

（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，

∵  AM=AN，BM=BN，G为MN的中点

∴  AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角A-MN-B的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有             

∴ 所求余弦值为               …14分

(1)略

(2)

(3) 存在的中点，使得平面. 

解：（1）依题意知：.

又面面，面面，面，

所以面.                                       …………2分

又因为.

以为原点，建立如图所示的坐标系，                          …………3分

则.            …………4分

由于，

所以,

即.                                              …………5分

所以，.

所以.       …………6分

（2）易知为平面的法向量. …………7分

设平面的法向量为，

则即，…………8分

令 则，即.                     …………9分

二面角的平面角为，则.…………10分

（3）方法一：存在的中点，使得：平面，证明如下：

连接，交于，取中点，连.

在△中，分别为中点，则.        …………11分

在△中，分别为中点，则.        …………12分

所以平面平面.

又平面，

所以平面.                                       …………14分

方法二：假设在四棱锥的棱上存在一点，使得平面，不妨设：，                                      …………11分

由，得.                   …………12分

由（2）知平面的法向量，由得.  ……13分

故存在的中点，使得平面.                   …………14分

（1）略

（2）

（3）

（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．       ……… 4分

（2）∵平面，平面，

∴．

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，． ……… 8分

（3）． 过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，

∴．∵，

∴平面．∵平面，∴．

∵，，∴平面．

∵平面，∴．

∴是二面角的平面角．             ……………… 10分

在△中，，，

∵，∴．

在△中，，∴．

故二面角的平面角的正切值为．          ………………12分

（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）30°

证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

∴ABCD    ∴FGAE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG  

又EG平面PCE，AF平面PCE∴AF∥平面PCE  

（2）∵PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP，又AF平面ADP        ∴CD⊥AF

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形  ∴PA＝AD="2 "

∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD   ∵AF∥EG　　∴EG⊥平面PCD

又EG平面PCE平面PCE⊥平面PCD

（3）过E作EQ⊥PB于Q点, 连QG, CB⊥面PAB

∴QE⊥面PCB, 则∠QGE为所求的角.

S△PEB=BE·PA=PB·EQEQ=

在△PEC中, PE＝EC＝, G为PC的中点, ∴EG＝,

在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=

∴∠EGQ=30°

（Ⅰ）

（Ⅱ）与所成的角为．

解：（Ⅰ）连接BD，交AC于O，∠D1OD为二面角

D1-AC-D的平面角，

在中，，，．             

（Ⅱ）长方体中，DD1⊥面ABCD， ∴DD1⊥AC．

又正方形ABCD中，DB⊥AC，，∴AC⊥面BDD1．

∴AC⊥BD1，即与所成的角为．

（1）证明见解析

（2）k＝1

（3）

（1）在平面内过点C作CE⊥PQ于点E, 由题知点E与点A不重合, 连接EB.

, 即点C在平面内的射影为点E,

所以.

又.

, 故 BE⊥PQ, 又

, ,

平面EBC, 故BC⊥PQ.

（2）由（1）知, O点即为E点, 设点F是O在平面ABC内的射影, 连 接BF并延长交AC于点D, 由题意可知, 若F是△ABC的重心, 则点D为AC的中点.

, 平面角为直二面角, , 由三垂线定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k＝1；反之, 当k＝1时, 三棱锥O—ABC为正三棱锥, 此时, 点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心.

（3）由（2）知, 可以O为原点, 以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz(如图所示) 

不妨设, 在Rt△OAB中, ∠ABO＝∠BAO＝45°, 所以BO＝AO＝, 由CA＝CB＝kAB且得, AC＝2, , 则.

所以

设是平面ABC的一个法向量, 由得

取x="1," 得

易知是平面的一个法向量,

设二面角B－AC－P的平面角为, 所以, 由图可知,

二面角B－AC－P的大小为.