热门试卷

（1）平面PAC⊥平面PBC

（2）二面角A—PB—C的大小为60°

（1）证明：∵PA垂直于⊙O所在的平面，BC在该平面内，所以PA⊥BC。

∵C是圆周上不同于A，B的一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。

又因为PA与AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC。

又困为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC    …………………5分

（2）作AD⊥PB于D点，AE⊥PC于E点，连DE。

由（1）知平面PAC⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC

而PB在平面PBC内，所以AE⊥PB

即有PB⊥AD（所作）PB⊥AE，又AE与AD是平面ADE内的两条相交直线，

所以PB⊥平面ADE，所以∠ADE是二面角A—PB—C的平面角。…………………………9分

设AB=2r，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，所以AC=r

由条件知PA=

在Rt△PAC中，AE=

在Rt△PAB中，AD=

在Rt△AED中，sin∠ADE=，所以∠ADE=60°

故二面角A—PB—C的大小为60°………………………………………12分

（1）利用线面垂直的性质可得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；

（2）∠PCA=450

试题分析（1）利用线面垂直的性质可得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（2）利用二面角的求解。

因为因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又△ABC中，AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．、又PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．

（2）在第一问的基础上，由于是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，PA="AC," 是圆周上不同于的任意一点，那么可知二面角 P-BC-A 的大小450

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，考查空间图形的位置关系，属于中档题．

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．

（1）先由线线垂直证明线面垂直，然后再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，然后利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角互余求解

（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． 

（Ⅱ）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．设P(0，0，a)（a＞0），

则E(，－，)，       ＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，

＝(，－，)，取m＝(1，－1，0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·=0，

即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，

依题意，|cosám，nñ|＝，则a＝2．…10分

于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cosá，nñ|＝，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

（1）因此与EF所成角的大小为

（2）

（3）二面角约为

（1）因为所以

可知向量与的夹角为

因此与EF所成角的大小为

（2）在正方体中，因为平面,所以是平面的法向量    

因为

所以 ，由，所以可得向量之间的夹角约为

（3）因为平面，所以是平面的法向量，因为

所以，所以可得两向量的夹角为

根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为

（1）垂直（2）

(1)解：．

证明：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，

∴．

（2）连结．∵于点O，

∴直线是直线在平面上的射影．.m

∴为直线与平面所成的角．

又∵，

∴．

∴°．

  (1)证明:如图所示,取AB中点G,连结CG、FG.

∵EF=FB,AG=GB,

∴FG.

又DC,∴FGDC.

∴四边形CDFG为平行四边形,

故DF∥CG.

∵平面ABC,平面ABC,

∴DF∥平面ABC.

(2)证明:∵EA⊥平面ABC,

∴EA⊥CG.

又△ABC是正三角形，

∴CG⊥AB.

∴CG⊥平面AEB.

∴CG⊥AF.

又∵DF∥CG,∴DF⊥AF.

又AE=AB,F为BE中点,

∴AF⊥BE.又BE∩DF=F,

∴AF⊥平面BDE.

∴AF⊥BD.

(3)解:延长ED交AC延长线于G′,连结BG′.

由,CD∥AE知D为EG′中点,

∴FD∥BG′.

由CG⊥平面ABE,FD∥CG,

∴BG′⊥平面ABE.

∴∠EBA为所求二面角的平面角.

在等腰直角三角形AEB中,易求∠ABE="45°."

空间直线和平面

连结BD交AC于O点,连结OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过G作GF∥CE,交PC于点F,连结BF.

∵BG∥OE,面AEC，面AEC,

∴BG∥面AEC.

同理GF∥面AEC.

又BG∩GF=G,

∴面BFG∥面AEC,面BFG.

∴BF∥面AEC.

下面求一下点F在PC上的具体位置.

∵BG∥OE,O是BD中点,

∴E是GD中点.

又∵PE∶ED=2∶1,

∴G是PE中点.

而GF∥CE,∴F为PC中点.

综上,存在点F是PC中点时,使BF∥面AEC.

空间直线和平面

（1）    （2）

（1）作于，平面平面

则向量与所成的角即为二面角的大小.

由计算得故

∴由面积求得，由射影定理可求得.

而则

故，故二面角的大小为

（2）平面，平面，

故A、C、D、E四点共面. 且平面平面

作于,则有平面

，

∴  ∴由故由得即到平面的距离是.

（3）假设线段BE上存在点，使，平面.

平面，平面.又，平面 又（F不与B重合），故平面，则

而由计算得:故这与矛盾,故上不存在,使（或平面，，而过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直）

向量法：过作平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.

（1）设平面的一个法向量为则，

故  

同理：平面的一个法向量为，则 

二面角的大小为

（2）由（1）知平面的一个法向量为，而，

故D到平面的距离是

（3）若上存在使平面，显然此时故

（上式也可用向量共线与共面定理得到F点的坐标）∴，故与不垂直，故在上不存在符合题意的点。

（1）略（2）（3）

(1) 证：…4分

(2) 解：连结PO，过A作AE⊥PO，平面PAC平面PBD=PO

∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，计算得……8分

(3) 解：过O作OF⊥PC，连BF，∵OB⊥平面PAC，由三垂线定理，PC⊥BF，

∴∠OFB为二面角B-PC-A的平面角，经计算得，，，

∴

∴,所求二面角大小为…14分

解法二：如图,以A原点，AB为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，

过D作DE⊥AB于E，则DE=ADsin60°=， AE=ADcos60°=1，∴，，

(1)设是平面PBD的法向量，则，

又，∴令则，，∴

设是平面PAC的法向量,则，又，∴

∴令则，∴， ∵∴，∴平面PBD⊥平面PAC(2)所求距离为

(3)设是平面PBC的法向量，则，

又,∴令则，，∴

，即二面角B-PC-A的大小为 .

（1）提示：因为，所以平面BCE

（2）解：建立如图所示的坐标系，设AB=AE=AD=1，

则B（0，1，0）、C（1，1，0）、D（1，0，0）、E（0，0，1）、F（0，）

显然是平面ABD的一个法向量；

设平面BDF的一个法向量

则令，则，，故

所以

所以，二面角的大小为

略

解：（1）因为P，Q分别为 AE，AB的中点，

所以PQ//EB．又DC//EB，因此PQ//DC，

从而PQ//平面ACD．………………………………5分     

（2）如图，连接CQ， DP.

因为Q为AB的中点，且AC =BC，所以CQ⊥ AB.

因为DC⊥ 平面ABC，EB//DC，    

所以EB⊥ 平面ABC.

因此CQ⊥ EB

故CQ⊥ 平面ABE.

由（1)有PQ//DC，又PQ＝EB＝DC，

所以四边形CQPD为平行四边形，

故DP// CQ ，

因此DP ⊥平面ABE，∠ DAP为AD和平面ABE所成的角．

在Rt ∆DPA中，AD＝，DP＝1，

sin ∠ DAP＝

因此AD和平面ABE所成角的的正弦值为………………12分

略