- 空间几何体
- 共15406题
正方体ABCD-A1B1C1D1的面BCC1B1内有一点M,满足M到点B的距离等于点M到面CDD1C1的距离,则点M的轨迹是( )
正确答案
解析
解:由已知点M到面CDD1C1的距离就是M到棱CC1的距离,即M到定点的距离等于到定直线的距离相等,M是面BCC1B1内有一点,
所以M的轨迹是抛物线的一部分;
故选:D.
已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2,底面边长为1,平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB、BC、CP、PA上,则的最小值为 ______.
正确答案
解析
解:设EF=x,FG=y,BF=a,FC=b
∵AC:EF=BC:BF,BP:FG=BC:FC
即1:EF=(a+b):a,2:FG=(a+b):b或1:FG=(a+b):2b
=≥
=+
∴的最小值为
+
如图,正方体ABCD-EFGH的棱长为a,点P在AC上,点Q在BG上,AP=BQ=a,求证:PQ⊥AD.
正确答案
解:建立空间直角坐标系,如图所示;
则D(0,0,0),A(a,0,0),
P(a-a,
a,0),Q(a-
a,a
,a);
∴=(-a,0,0),
=(0,a-
a,
a),
∴•
=-a×0+0×(a-
a)+0×
a=0,
∴⊥
;
即AD⊥PQ.
解析
解:建立空间直角坐标系,如图所示;
则D(0,0,0),A(a,0,0),
P(a-a,
a,0),Q(a-
a,a
,a);
∴=(-a,0,0),
=(0,a-
a,
a),
∴•
=-a×0+0×(a-
a)+0×
a=0,
∴⊥
;
即AD⊥PQ.
(2015秋•松原校级期末)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
正确答案
解析
解:∵如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,
∴据图可判断为:棱柱,底面为梯形,三角形等情况,
故选A
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4,点H在棱A1A上,且HA1=1.点E,F分别为棱B1C1,C1C的中点,P是侧面BCC1B1内一动点,且满足PE⊥PF.则当点P运动时,|HP|2的最小值是( )
正确答案
解析
解:以EF为直径在平面BCC1B1内做圆,该圆的半径为r=|EF|=
,
再过H引BB1的垂线,垂足为G,连接GP,
则HP2=HG2+GP2,其中HG为棱长4,
因此当GP∥B1C1时,OG=3,此时GP取得最小值为3-,从而HP取得最小值;
∴HP2=+42=9-6
+2+16=27-6
;
即HP2的最小值为27-6;如图所示.
故选:B
已知点M是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,则过A,B,M三点的截面积是______.
正确答案
解析
解:AM=,
,
AB=a,
由余弦定理,得=
,
∴,
∴过A,B,M三点的截面积S==
.
故答案为:.
一个棱柱为正四棱柱的充要条件是( )
正确答案
解析
解:若底面是正方形,有相对的两个侧面垂直于底面,另外两个侧面不垂直于底面,则棱柱为斜棱柱,故A不满足要求;
若底面是正方形,有相对的两个侧面是矩形,另外两个侧面是不为矩形的平行四边形,则棱柱为斜棱柱,故B不满足要求;
底面是菱形,且过一个顶点的三条棱两两垂直,则底面为正方形,侧棱与底面垂直,此时棱柱为正四棱柱,故C满足要求;
各个面都是矩形的平行六面体,其底面可能不是正方形,故D不满足要求;
故选C
下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出△MNP为直角三角形的图形的序号是______.
正确答案
①④
解析
解:①∵NP⊥面AMN,MN⊂面AMN,
∴NP⊥MN,
∴△MNP为直角三角形
②根据正方体的几何性质得出△MNP为正三角形,
③设棱长为2,
根据正方体的边长得出MP=MN=,NP=2,
故∴△MNP不是直角三角形,
④设棱长为2,根据正方体的结合性质得:MN=,NP=
,MP=2
,
根据勾股定理可判断△MNP为直角三角形
故答案为:①④
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,线段B1C上有一个动点P线段A1C1有两个动点E、F,且
,现有如下四个结论:1点E、F在棱A1C1上运动时,三棱锥B-CEF的体积为定值;2点P在直线B1C上运动时,直线A1P与平面A1C1D所成角的大小不变;3点P在直线B1C上运动时,直线AD1与A1P所成角的大小不变;4点M是底面ABCD所在平面上的一点,且到直线AD与直线CC1的距离相等,则M点的轨迹是抛物线.
其中正确结论的序号是______.
正确答案
134
解析
解:1:点E、F在棱A1C1上运动,由于EF的长度不变,
B到平面EFC的距离不变,所以三棱锥B-CEF的体积为定值;正确.
2:点P在直线B1C上运动时,平面A1C1D是确定的平面,
而直线A1P是动直线,所以直线A1P与平面A1C1D所成角的大小不变;这是错误的.
3:点P在直线B1C上运动时,因为直线AD1与平面A1B1CD是垂直的,
所以直线AD1与A1P所成角的大小是90°,是不变的;正确.
4:点M是底面ABCD所在平面上的一点,点M到直线CC1的距离,就是M到C的距离,
M到直线AD与直线CC1的距离相等,则M点的轨迹满足抛物线的定义;正确.
故答案为:1、3、4
斜棱柱的底面和侧面中,矩形的个数最多有_______.
正确答案
4
解析
解:∵斜棱柱的底面至多有两条边与侧棱垂直,且互为平行,
斜棱柱的侧面有最多有2个矩形
若底面也为矩形
此时斜棱柱的底面和侧面中,矩形的个数最多有2+2=4个
故答案为:4
若长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c,则长方体体对角线长为( )
正确答案
解析
解析:设同一顶点的三条棱分别为x,y,z,
则x2+y2=a2,y2+z2=b2,x2+z2=c2
得,
则对角线长为.
故选C.
在棱长为2的正方体内能自由转动的最大正四面体的体积为( )
正确答案
解析
解:棱长为2的正方体内切球的半径r=1,
由题设知最大正四面体是棱长为2的正方体内切球的内接正四面体,
设这个内接正四面体的棱长为a,
则,
∴a=.
∴这个正四面体的高h=,
∴这个正四面体的体积:
V=
=.
故选B.
正三棱锥V-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点,则四边形EFGH面积的取值范围是( )
正确答案
解析
解:由条件可知:EF=HG=a,EFGH是平行四边形
因为正三棱锥V-ABC,所以EFGH是矩形而EH,FG,是变量,
当V点在ABC平面时,VA=VB=VC=
此时EH,FG有最小值,EH=FG=VA=
EFGH的面积EF*•EH=a×=
故选B.
有一个正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m,4的对面的数字为n,那么m+n的值为______.
正确答案
8
解析
解:从3个小立方体上的数可知,
与写有数字1的面相邻的面上数字是2,3,4,6,
所以数字1面对数字5,
同理,立方体面上数字3对6.
故立方体面上数字2对4.
则m=6,n=2,
那么m+n=8.
故答案为:8
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=
,则下列结论中正确的序号是______.
(1)AC⊥BE;
(2)EF∥平面ABCD;
(3)面AEF⊥面BEF;
(4)三棱锥A-BEF的体积为定值.
正确答案
(1)(2)(4)
解析
解:∵AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D∴AC⊥BE.故(1)正确;
∵B1D1∥平面ABCD,又E、F在直线D1B1上运动,∴EF∥平面ABCD.故(2)正确;
∵对角面与侧面所成角为45°,∴面AEF与面BEF不可能垂直,故(3)不正确;
(4)中由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值.
又点A到平面BEF的距离为,故VA-BEF为定值.故正确.
故答案为:(1)(2)(4).
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