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题型: 单选题
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单选题

正方体ABCD-A1B1C1D1的面BCC1B1内有一点M,满足M到点B的距离等于点M到面CDD1C1的距离,则点M的轨迹是(  )

A圆的一部分

B椭圆的一部分

C双曲线的一部分

D抛物线的一部分

正确答案

D

解析

解:由已知点M到面CDD1C1的距离就是M到棱CC1的距离,即M到定点的距离等于到定直线的距离相等,M是面BCC1B1内有一点,

所以M的轨迹是抛物线的一部分;

故选:D.

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题型:填空题
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填空题

已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2,底面边长为1,平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB、BC、CP、PA上,则的最小值为 ______

正确答案

解析

解:设EF=x,FG=y,BF=a,FC=b

∵AC:EF=BC:BF,BP:FG=BC:FC

即1:EF=(a+b):a,2:FG=(a+b):b或1:FG=(a+b):2b

=

=+

的最小值为+

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题型:简答题
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简答题

如图,正方体ABCD-EFGH的棱长为a,点P在AC上,点Q在BG上,AP=BQ=a,求证:PQ⊥AD.

正确答案

解:建立空间直角坐标系,如图所示;

则D(0,0,0),A(a,0,0),

P(a-a,a,0),Q(a-a,a,a);

=(-a,0,0),=(0,a-a,a),

=-a×0+0×(a-a)+0×a=0,

即AD⊥PQ.

解析

解:建立空间直角坐标系,如图所示;

则D(0,0,0),A(a,0,0),

P(a-a,a,0),Q(a-a,a,a);

=(-a,0,0),=(0,a-a,a),

=-a×0+0×(a-a)+0×a=0,

即AD⊥PQ.

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题型: 单选题
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单选题

(2015秋•松原校级期末)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(  )

A棱柱

B棱台

C棱柱与棱锥的组合体

D不能确定

正确答案

A

解析

解:∵如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,

据图可判断为:棱柱,底面为梯形,三角形等情况,

故选A

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题型: 单选题
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单选题

如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4,点H在棱A1A上,且HA1=1.点E,F分别为棱B1C1,C1C的中点,P是侧面BCC1B1内一动点,且满足PE⊥PF.则当点P运动时,|HP|2的最小值是(  )

A7-

B27-6

C51-14

D14-2

正确答案

B

解析

解:以EF为直径在平面BCC1B1内做圆,该圆的半径为r=|EF|=

再过H引BB1的垂线,垂足为G,连接GP,

则HP2=HG2+GP2,其中HG为棱长4,

因此当GP∥B1C1时,OG=3,此时GP取得最小值为3-,从而HP取得最小值;

∴HP2=+42=9-6+2+16=27-6

即HP2的最小值为27-6;如图所示.

故选:B

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题型:填空题
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填空题

已知点M是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,则过A,B,M三点的截面积是______

正确答案

解析

解:AM=

AB=a,

由余弦定理,得=

∴过A,B,M三点的截面积S==

故答案为:

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题型: 单选题
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单选题

一个棱柱为正四棱柱的充要条件是(  )

A底面是正方形,有两个侧面垂直与底面

B底面是正方形,有两个侧面是矩形

C底面是菱形,且过一个顶点的三条棱两两垂直

D各个面都是矩形的平行六面体

正确答案

C

解析

解:若底面是正方形,有相对的两个侧面垂直于底面,另外两个侧面不垂直于底面,则棱柱为斜棱柱,故A不满足要求;

若底面是正方形,有相对的两个侧面是矩形,另外两个侧面是不为矩形的平行四边形,则棱柱为斜棱柱,故B不满足要求;

底面是菱形,且过一个顶点的三条棱两两垂直,则底面为正方形,侧棱与底面垂直,此时棱柱为正四棱柱,故C满足要求;

各个面都是矩形的平行六面体,其底面可能不是正方形,故D不满足要求;

故选C

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题型:填空题
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填空题

下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出△MNP为直角三角形的图形的序号是______

正确答案

①④

解析

解:①∵NP⊥面AMN,MN⊂面AMN,

∴NP⊥MN,

∴△MNP为直角三角形

②根据正方体的几何性质得出△MNP为正三角形,

③设棱长为2,

根据正方体的边长得出MP=MN=,NP=2,

故∴△MNP不是直角三角形,

④设棱长为2,根据正方体的结合性质得:MN=,NP=,MP=2

根据勾股定理可判断△MNP为直角三角形

故答案为:①④

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题型:填空题
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填空题

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,线段B1C上有一个动点P线段A1C1有两个动点E、F,且,现有如下四个结论:1点E、F在棱A1C1上运动时,三棱锥B-CEF的体积为定值;2点P在直线B1C上运动时,直线A1P与平面A1C1D所成角的大小不变;3点P在直线B1C上运动时,直线AD1与A1P所成角的大小不变;4点M是底面ABCD所在平面上的一点,且到直线AD与直线CC1的距离相等,则M点的轨迹是抛物线.

其中正确结论的序号是______

正确答案

134

解析

解:1:点E、F在棱A1C1上运动,由于EF的长度不变,

B到平面EFC的距离不变,所以三棱锥B-CEF的体积为定值;正确.

2:点P在直线B1C上运动时,平面A1C1D是确定的平面,

而直线A1P是动直线,所以直线A1P与平面A1C1D所成角的大小不变;这是错误的.

3:点P在直线B1C上运动时,因为直线AD1与平面A1B1CD是垂直的,

所以直线AD1与A1P所成角的大小是90°,是不变的;正确.

4:点M是底面ABCD所在平面上的一点,点M到直线CC1的距离,就是M到C的距离,

M到直线AD与直线CC1的距离相等,则M点的轨迹满足抛物线的定义;正确.

故答案为:1、3、4

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题型:填空题
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填空题

斜棱柱的底面和侧面中,矩形的个数最多有_______

正确答案

4

解析

解:∵斜棱柱的底面至多有两条边与侧棱垂直,且互为平行,

斜棱柱的侧面有最多有2个矩形

若底面也为矩形

此时斜棱柱的底面和侧面中,矩形的个数最多有2+2=4个

故答案为:4

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题型: 单选题
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单选题

若长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c,则长方体体对角线长为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解析:设同一顶点的三条棱分别为x,y,z,

则x2+y2=a2,y2+z2=b2,x2+z2=c2

则对角线长为

故选C.

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题型: 单选题
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单选题

在棱长为2的正方体内能自由转动的最大正四面体的体积为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解:棱长为2的正方体内切球的半径r=1,

由题设知最大正四面体是棱长为2的正方体内切球的内接正四面体,

设这个内接正四面体的棱长为a,

∴a=

∴这个正四面体的高h=

∴这个正四面体的体积:

V=

=

故选B.

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题型: 单选题
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单选题

正三棱锥V-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点,则四边形EFGH面积的取值范围是(  )

A(0,+∞)

B

C

D

正确答案

B

解析

解:由条件可知:EF=HG=a,EFGH是平行四边形

因为正三棱锥V-ABC,所以EFGH是矩形而EH,FG,是变量,

当V点在ABC平面时,VA=VB=VC=

此时EH,FG有最小值,EH=FG=VA=

EFGH的面积EF*•EH=a×=

故选B.

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题型:填空题
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填空题

有一个正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m,4的对面的数字为n,那么m+n的值为______

正确答案

8

解析

解:从3个小立方体上的数可知,

与写有数字1的面相邻的面上数字是2,3,4,6,

所以数字1面对数字5,

同理,立方体面上数字3对6.

故立方体面上数字2对4.

则m=6,n=2,

那么m+n=8.

故答案为:8

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题型:填空题
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填空题

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中正确的序号是______

(1)AC⊥BE;        

(2)EF∥平面ABCD;

(3)面AEF⊥面BEF; 

(4)三棱锥A-BEF的体积为定值.

正确答案

(1)(2)(4)

解析

解:∵AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D∴AC⊥BE.故(1)正确;

∵B1D1∥平面ABCD,又E、F在直线D1B1上运动,∴EF∥平面ABCD.故(2)正确;

∵对角面与侧面所成角为45°,∴面AEF与面BEF不可能垂直,故(3)不正确;

(4)中由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值.

又点A到平面BEF的距离为,故VA-BEF为定值.故正确.

故答案为:(1)(2)(4).

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