热门试卷

解：经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，

有时会出现其中一条直线在所做的平面上，故①不正确，

已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α，

这种情况需要有另外一条和a相交的直线也与平面垂直结论才一定成立，故②不正确．

有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱，另外两个侧面也要垂直才成立，故③不正确

三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；④正确

三棱锥的四个面可以都是直角三角形．当底面是一个直角三角形，

在直角顶点处的侧棱与底面垂直，这时符合题意，故⑤正确，

故答案为：④⑤

解：连结AG，并延长交BC于M，连结DM，如图所示；

则AM是△ABC的中线，

∵AB=AC，∴AM⊥BC，

连结HM，则HM是AM在平面BCD上的射影；

∴根据三垂线逆定理，BC⊥HM，

∵H是△BCD的垂心，

∴GM在BC边上的高线DH上，即DM是BC边上的高，

∴DM是BC的垂直平分线，DB=DC，

∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，

∴∠AMD=60°，

=sin60°，

AM=，

MH==，

在△AMH上作GN∥AH，交MH于N，

根据三角形平行比例线段性质，

=，

根据三角形重心的性质，=，

∵△MNG∽△MHA，

∴=，

∴GN=，

同理，=，

∴MN=•=，

∴NH=MH-MN=-=，

在Rt△GNH中根据勾股定理，

GH2=GN2+NH2，

∴GH2=+=

∴GH=．

故答案为：．

解：如图，画出正四棱锥的图形，不难发现过程正四棱锥，必须侧面积大于底面面积，即可．

就是：，所以，

故答案为：

解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：DO=BO=，

∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，∴BD=1，即△BCD为等边三角形，①正确；

∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD⊂平面BOD，∴AC⊥BD，②正确；

∵VD-ABC=××=，∴③错误；

建立空间直角坐标系如图：

则=（-，，0），=（，0，），

∴cos＜，＞=-，∴异面直线AB与CD所成的角是60°，∴④正确．

故答案为：①②④．

解：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．

由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误

②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确

③由②，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．③错误

④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确

⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别为，，，任意两边之和大于第三边，能构成三角形．⑤正确

故答案为：②④⑤

解：画出图形，如图（1）四个面都是直角三角形，①不正确．

②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；如图（2）DE⊥平面FAP，可得结论；正确．

③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；如图（2）三角形AD1Q面积不变，

C到平面距离不变，体积为定值．

④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和 C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段A1D1满足题意．

故答案为：②③④．

解：解：如图，侧棱和底面边长都是3的正四棱锥

设正四棱锥底面的中心为O，AB=BC=3

则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，

∴AO=CO=3，

在直角三角形PAO中，PO==3，

∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，

∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，

球的表面积S=4πr2=36π，

故答案为：36π