热门试卷

（Ⅰ）设N（x，y），P（0，p），

由题意知，P为MN的中点，∴M（-x，2p-y），

又M在x轴上，∴2p-y=0，即p=，∴P（0，），M（-x，0）

∵•=0，∴（-x，-）×（1，-）=0，∴y2=4x（x＞0）

∴动点N的轨迹C的方程为y2=4x（x＞0）

（Ⅱ）若直线L的斜率不存在，设直线L的方程为x=a＞0，

此时，A（a，2），B（a，-2），•=a2-4a=-4，

∴a=2，=(0，-4)，|AB|=4¹4，不符合题意，舍去．

∴直线L的斜率存在．

设直线L的方程为y=kx+b，A(，y1)、B(，y2)，

由消去y整理得，ky2-4y+4b=0，

△=16-16kb＞0，y1+y2=，

y1y2=•=+y1y2==-4，

∴b=-2k，∴y1y2=-8

|AB|===，

∵|AB|=4∴=4

4k4-3k2-1=0

∴k=±1∴当k=1时，b=-2，

当k=-1时，b=2；

所以直线L的方程为 y=x-2或y=-x+2．

设M（x0，y0），则kOM=，kAB=-，

直线AB方程是y=-（x-x0）+y0．

由y2=4px可得x=，将其代入上式，整理，得

x0y2-（4py0）y-4py02-4px02=0．①

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，∴A（，y1）、B（，y2）．

∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．∴•=-1．∴y1y2=-16p2．

根据根与系数的关系，由①可得

y1•y2=，∴=16p2．

化简，得x02+y02-4px0=0，

即x2+y2-4px=0（除去原点）为所求．

∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

法二：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，

由OM⊥AB得k=-．

由y2=4px及y=kx+b消去y，得

k2x2+x（2kb-4p）+b2=0．

所以x1x2=．消去x，得ky2-4py+4pb=0．所以y1y2=．由OA⊥OB，

得y1y2=-x1x2，所以=-，b=-4kp．

故y=kx+b=k（x-4p）．用k=-代入，得

x2+y2-4px=0（x≠0）．

∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

解方程组

（1）代入（2）得x2+9x-36=0，

x=3，x=-12（不合题意）

将x=3代入（1），

得y=3（仅取正值），

∴在第一象限的交点为（3，3）

从抛物线y2=9x得p=.

∴过点（3，3）的抛物线的切线方程是

3y=(x+3)，即3x-2y+9=0.

过点（3，3）的圆的切线方程是

3x+3y=36，

即x+y-12=0．

（1）依题意，P到F(，0)距离比P到y轴的距离大，即=x+，化简得：y2=2x，

所以曲线C是以原点为顶点，F(，0)为焦点的抛物线P=1曲线C方程是y2=2x；

（2）设圆心M（a，b），因为圆M过A（1，0），

故设圆的方程（x-a）2+（y-b）2=（a-1）2+b2令x=0得：y2-2by+2a-1=0，

设圆与y轴的两交点为（0，y1），（0，y2），

则y1+y2=2b，y1•y2=2a-1（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1•y2=（2b）2-4（2a-1）=4b2-8a+4，

M（a，b）在抛物线y2=2x上，b2=2a（y1-y2）2=4|y1-y2|=2，

所以，当M运动时，弦长|EF|为定值2．