- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
如图，设点A（x0，y0）为抛物线y2=
（Ⅰ）试用x0表示y1；
（Ⅱ）试用x0表示x2；
（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．
正确答案
（Ⅰ）|OA|=
∴y1=|OB|=
（Ⅱ）kAB=
=
=
直线AB的方程为
y=
令y=0，得
x2=
（Ⅲ）
故当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标是（1，0）．
已知抛物线y2=2x，定点A的坐标为（
（1）求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设B（a，0），求抛物线上的点到点B的距离的最小值d．
正确答案
（1）设P（x，y）为抛物线上任一点，
|PA|2=(x-
∵x∈[0，+∞），∴x=0时，|PA|min=
此时P（0，0）．
（2）|PB|2=（x-a）2+y2=（x-a）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0）．
①当a-1≥0，即a≥1时，
在x=a-1时，|PB|min2=2a-1；
②当a-1＜0，即a＜1时，在x=0时，
|PB|min2=a2，故d=
如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．若行驶车道总宽度AB为6m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到0.1m）
正确答案
取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，c（4，-4），
设抛物线方程x2=-2py（p＞0），将点C代入抛物线方程得p=2，
∴抛物线方程为x2=-4y，行车道总宽度AB=6m，
∴将x=3代入抛物线方程，y=-2.25m，
∴限度为6-2.25-0.5=3.25m
则计算车辆通过隧道的限制高度是3.2米
一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过横断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB的宽恰好为拱高CD的4倍，|AB|=am，，求能使卡车通过的a的最小整数值．
正确答案
由题意如图，已知拱口AB的宽恰好为拱高CD的4倍，|AB|=am，可得A（-
故抛物线的方程是x2=-ay
研究极限情况，一辆卡车高3m，宽1.6m，若上顶E，F恰好在抛物线上，则E（-0.8，-
0.64=
又6＜
能使卡车通过的a的最小整数值是13
已知抛物线y2=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；
（Ⅱ）求△ANB面积的最小值；
（Ⅲ）当点M的坐标为（m，0）（m＞0，且m≠1）．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线NA，NB的斜率是否互为相反数？
②△ANB面积的最小值是多少？
正确答案
（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
∴y1y2=-4∵N（-1，0）kNA+kNB=
=
又当l垂直于x轴时，点A，B关于x轴，显然kNA+kNB=0，kNA=-kNB．
综上，kNA+kNB=0，kNA=-kNB．
（Ⅱ）S△NAB=|y1-y2|=
=4
当l垂直于x轴时，S△NAB=4．
∴△ANB面积的最小值等于4．
（Ⅲ）推测：①kNA=-kNB；
②△ANB面积的最小值为4m
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