热门试卷

设点B（x，4-x2）（O＜x≤2）…（1分）

则S=2x（4-x2）=2x3+8x…（3分）

∴S′=-6x2+8，∴S′=-6x2+8=0即x=

所以x=时，S=2x3+8x取得最大值为

即矩形ABCD面积的最大值是…（14分）

（Ⅰ）∵抛物线y=2x2，即x2=，∴p=，

∴焦点为F（0，）

（1）直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0

（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b

即直线l：y=kx+b由已知得：

⇒⇒

⇒x12+x22=-+b≥0⇒b≥．

即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）

所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F

（II）设直线l的方程为：y=2x+b，

故有过AB的直线的方程为y=-x+m，代入抛物线方程有2x2+x-m=0，得x1+x2=-．

由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞-．

由直线AB的中点为（，）=（-，+m），

则+m=-+b，于是：b=+m＞-=．

即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．

（1）由y=x2-2m2x-（2m2+1）得

y=x2-2m2（x-1）-1

令x-1=0，即x=1，则无论m为何值，总有y=12-0-1=0．即抛物线恒过（1，0）．

（2）令y=0，有[x-（2m2+1）]（x+1）=0，解得x=2m2+1或x=-1，由于-1＜0，故n点坐标为（2m2+1，0）．

令x=0，得y=-（2m2+1），即p点坐标为（0，-（2m2+1））．

故pn的斜率==1为定值．

（3）依题得mn为三角形PMN的底，P点纵坐标的长度为三角形PMN的高．且

mn=2m2+1-1=2m2p点纵坐标的长度=2m2+1

故S△PMN=•2m2•（2m2+1）=2m4+m2，故当m=0时，三角形PMN面积有最小值0

（1）如图以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，

则F（2，3），设抛物线的方程是x2=2py（p＞0）

因为点F在抛物线上，所以4=2p×3，p=

所以抛物线的方程是x2=y（5分）

（2）等腰梯形ABCD中，AB∥CD，线段AB的中点O是抛物线的顶点，AD，AB，BC分别与抛物线切于点M，O，N

y'=x，设N（x0，y0），x0＞0，，

则抛物线在N处的切线方程是y-y0=x0(x-x0)，所以B(x0，0)C(，3)，（10分）

梯形ABCD的面积是S=(x0+)×3=(2x0+)=3(x0+)≥6，等号当且仅当x0=时成立，

答：梯形ABCD的下底AB=米时，所挖的土最少（12分）