- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
如图，直线y=
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．
正确答案
（1）解方程组
从而AB的中点为M（2，1），
由kAB═
令y=-5，得x=5，
∴Q（5，-5）．
（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，
∵点P到直线OQ的距离
d=
|OQ|=5
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，
∴-4≤x＜4
∵函数y=x2+8x-32在区间[-4，8]上单调递增，
∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．
要建造一座跨度为16米，拱高为4米的抛物线拱桥，建桥时，每隔4米用一根柱支撑，两边的柱长应为______米．
正确答案
由题意知，设抛物线的方程为x2=-2py（p＞0），又抛物线的跨度为16，拱高为4，所以点（8，-4）为抛物线上的点，代入求得p=8．即抛物线方程为x2=-16y．
所以当x=4时，y=-1，
所以柱子的高度为4-1=3米．
故答案为：3．
某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m高2m，载货后木船露在水面上的部分高为
正确答案
如图所示建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x2=-2py（p＞0），过点（4，-5），
∴16=-2p（-5），∴2p=
∴抛物线方程为x2=-
∴相距为
已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=-1，过点（1，0）作倾斜角为
求（1）p的值；（2）弦长|AB|．
正确答案
（1）由准线的方程为x=-1，可知：
（2）易得直线l：y=x-1，与y2=4x联立
消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∴x1+x2=y1+y2+2=6，
所以：弦长|AB|=8．
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x0＞2．
（I）证明：点P（x0，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由．
正确答案
（I）设AB为点P（x0，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1，y1）、（x2，y2）（x1≠x2），则y21=4x1，y22=4x2，
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）．因为x1≠x2，所以y1+y2≠0、
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm，ym），则
k=
又点P（x0，0）在直线l上，所以-ym=-
而ym≠0，于是xm=x0-2．故点P（x0，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是y-ym=k（x-xm），代入y2=4x中，
整理得k2x2+2[k（ym-kxm）-2]x+（ym-kxm）2=0．（•）
则x1、x2是方程的两个实根，且x1•x2=
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则l2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=4（1+k2）（xm2-x1x2）
=4(1+
=（4+ym2）（4xm-ym2）=-ym4+4ym2（xm-1）+16xm
=4（xm+1）2-[ym2-2（xm-1）]2=4（x0-1）2-[ym2-2（x0-3）]2．
因为0＜ym2＜4xm=4（xm-2）=4x0-8，于是设t=ym2，则t∈（0，4x0-8）．
记l2=g（t）=-[t-2（x0-3）]2+4（x0-1）2．
若x0＞3，则2（x0-3）∈（0，4x0-8），所以当t=2（x0-3），即ym2=2（x0-3）时，
l有最大值2（x0-1）．
若2＜x0＜3，则2（x0-3）≤0，g（t）在区间（0，4x0-8）上是减函数，
所以0＜l2＜16（x0-2），l不存在最大值．
综上所述，当x0＞3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x0-1）；当2＜x0≤3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值．
扫码查看完整答案与解析