- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
（1）直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A，求实数b的值，及点A的坐标．
（2）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短．
正确答案
（1）由
因为直线l与抛物线C相切，所以△=16+16b=0，解得b=-1；
代入方程①即为x2-4x+4=0，解得x=2，所以y=1，
故点A（2，1）．
（2）设点P（t，4t2），距离为d，
则d=
当t=
已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S△ABP最大，并求面积最大值．
正确答案
不妨设点A在第一象限，B点在第四象限．如图．
抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x1，y1），y1＞0，
由|FA|=2得x1+1=2，x1=1，代入y2=4x中得y1=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
由A（1，2），B（4，-4）得 |AB|=
直线AB的方程为 
再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x0，y0），且0≤x0≤4，-4≤y0≤2．
则点P到直线AB的距离d=
所以当y0=-1时，d取最大值 
所以△PAB的面积最大值为S=
此时P点坐标为（ 
有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为0.25m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为______．（精确到0.1m）
正确答案
如图，以抛物线的对称轴为y轴，路面为x轴，建立坐标系，
由已知可得，抛物线顶点坐标为（0，6），与x轴的一个交点（8，0），
设抛物线解析式为y=ax2+6，
把（8，0）代入解析式，
得a=-
所以，抛物线解析式为y=-
当x=6时，y≈4.3，
∴慢车道的限制高度为 4.3米．
故答案为：4.3．
如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8m，拱圈内水面宽16m．，为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一条船船顶部宽4m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？
（2）近日因受台风影响水位暴涨2.7m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽4
正确答案
（1）如图所示，以过拱桥的最高点且平行水面的直线为X轴，最高点O为原点建立直角坐标系（1分）
设抛物线方程为x2=-2py，将点（8，-8）代入得2p=8，
∴抛物线方程是x2=-8y，（4分）
将x=2代入得y=-
故船在水面以上部分高不能超过7米．（6分）
（2）将x=2
此时1+0.5+2.7+4=8.2，
故船身应至少降低0.2米（10分）
已知抛物线C：y2=2px，点P（-1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．
正确答案
（1）因为抛物线的准线为x=-1，所以p=2，抛物线方程为y2=4x（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=k（x+1），（依题意k存在，且k≠0）与抛物线方程联立，消去y得k2x2+（2k2-4）x+k2=0…（*）x1+x2=
所以AB中点的横坐标为
（此时（*）式判别式大于零）
所以直线l的方程为y=±
（2）因为A为线段PB中点，所以
由A、B为抛物线上点，得(
解得x2=2，y2=±2
当y2=2
所以△FAB的面积S△FAB=S△PFB-S△PFA=
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