- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
一抛物线形拱桥，当水面离桥顶3米时，水面宽2
正确答案
以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系
设其方程为x2=2py（p≠0），∵A（
∴6=2p×（-3）∴2p=-2∴抛物线的方程为x2=-2y
设当水面上升1米时，点B的坐标为（a，-2）（a＞0）
∴a2=（-2）×（-2）=4
∴a=2
故水面宽为4米．
故答案为：4．
如果过两点A（a，0）和B（0，a）的直线与抛物线y=x2-2x-3没有交点，那么实数a的取值范围是______．
正确答案
过A、B两点的直线为：x+y=a与抛物线y=x2-2x-3联立得：x2-x-a-3=0．
因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．
即△=1+4（a+3）＜0，
解之得a＜-
故答案为：（-∞，-
倾斜角为
正确答案
设A（x1，），B（x2，），A，B到准线的距离分别为dA，dB，
由抛物线的定义可知|AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2．（3分）
由已知得抛物线的焦点为F（1，0），斜率k=tan
将y=x-1代入方程y2=4x，得（x-1）2=4x，化简得x2-6x+1=0．
由求根公式得x1=3+2
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8．
所以，线段AB的长是8．（12分）
已知直线l：y=kx+k+1，抛物线C：y2=4x，定点M（1，1）．
（I）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当k（k≠0）变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x0，y0），求x0关于k的函数关系式x0=f（k）；若P与M重合时，求x0的取值范围．
正确答案
（I）由焦点F（1，0）在l上，得k=-
设点N（m，n）则有：
解得
∴N(
∵
N点不在抛物线C上．
（2）把直线方程x=
∵相交，∴△=16（-k2-k+1）≥0，
解得
由对称得
解得x0=
当P与M重合时，a=1
∴f(k)=x0=
∵函数x0=f（x）（k∈R）是偶函数，且k＞0时单调递减．
∴当k=
已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围．
正确答案
设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组
判别式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x0=
∵M∈l，∴0=x0+y0=
即b=-
故实数a的取值范围（
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