- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．
正确答案
抛物线的焦点F坐标为（a，0），设直线AB方程为y=k（x-a），
则CD方程为y=-
分别代入y2=4x得：k2x2-（2ak2+4a）x+k2a2=0及
∵|AB|=xA+xB+p=2a+
∴|AB|+|CD|=8a+
所以，|AB|+|CD|的最小值为16a．
已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a=______．
正确答案
设切点P（x0，y0），
∵y=ax2∴y′=2ax，
则有：x0-y0-1=0（切点在切线上）①；
y0=ax02（切点在曲线上）②
2ax0=1（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；
由①②③解得：a=
设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若
正确答案
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=-1
∵
∴点F是△ABC重心
则x1+x2+x3=3
y1+y2+y3=0
而|FA|=x1-（-1）=x1+1
|FB|=x2-（-1）=x2+1
|FC|=x3-（-1）=x3+1
∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6
故答案为：6．
抛物线y2=4x，O为坐标原点，A，B为抛物线上两个动点，且OA⊥OB，当直线AB的倾斜角为45°时，△AOB的面积为______．
正确答案
设直线AB的方程为y=x-m，代入抛物线联立得x2-（2m+4）x+m2=0，则x1+x2=2m+4，x1x2=m2，
∴|x1-x2|=
∵三角形的面积为S△AOB=|
又因为OA⊥OB，设A（x1，2
所以
代入上式可得S△AOB=
故答案为：8
从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为______．
正确答案
设P（x0，y0）
依题意可知抛物线准线x=-1，
∴x0=5-1=4
∴|y0|=
∴△MPF的面积为
故答案为10．
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