- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1（x1，y1）P2（x2，y2）两点，若y1+y2=6，求|P1P2|的值．
正确答案
x2=4y的焦点为（0，1），设过焦点（0，1）的直线为y=kx+1
则令kx+1=
由韦达定理得x1+x2=4k，x1x2=-4
y1=kx1+1，y2=kx2+2
所以y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=6，所以k2=1
所以|AB|=|x1-x2|
=
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是______（填写所有正确选项的序号）．
①菱形②有3条边相等的四边形③梯形
④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形
正确答案
∵菱形是4边相等，而且它的对角线垂直，但是抛物线只有一个顶点，所以无法做到在抛物线上面的两条直线垂直且两两相等，最多就是三边相等，其中一点必定是抛物线的顶点，然后向两边去等长，然后在在一边去等长最后连上就行．
∴①不正确，②正确
∵梯形是只有上底和下底平行，作两条垂直与抛物线的对称轴的交抛物线，然后把四点依次连接就行，故③正确
以一个点为顶点做两条射线交抛物线，剩下的两个角有一个角的取值范围是0-180，∴⑤个也成立
∵连接抛物线上的四点，只有竖着的两直线有可能平行，而横着的两条直线不可能平行，故④不成立
故答案为②③⑤
若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=______．
正确答案
抛物线方程整理得x2=
l被抛物线截得的线段长即为通径长
故
故答案为
如图，对每个正整数n，An(xn，yn)是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn（sn，tn），
（Ⅰ）试证：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点．试证：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1（n≥1）。
正确答案
证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，
因为焦点F(0，1)，所以可设直线AnBn的方程为y-1=
将它与抛物线方程
由一元二次方程根与系数的关系得
（Ⅱ）对任意固定的n≥1，
利用导数知识易得抛物线
故
类似地，可求得
由②减去①得
从而
将③代入①并注意
由两点间的距离公式得
从而
现在
如图，P是抛物线C：y=
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求
正确答案
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0，
由y=
得y′=x，
∴过点P的切线的斜率k切=x1，
∴直线l的斜率kl=
∴直线l的方程为
联立①②消去y，得
∵M是PQ的中点，
∴
消去x1，得
∴PQ中点M的轨迹方程为
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，
依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)，
分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′，
则
由
则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2，
∴
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴
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