热门试卷

解：（1）由题意得，得。

（2）设，线段AB的中点坐标为

由题意得，设直线AB的斜率为k（k）

由，得，

得

所以直线的方程为，

即

由，整理得，

所以，，

从而得，

设点P到直线AB的距离为d，则，

设ABP的面积为S，则

由，得.令，，

则

设，，

则

由，得，

所以，

故ABP的面积的最大值为。

解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，

代入抛物线方程得， ①

设A、B两点的坐标分别是，

则x1、x2是方程①的两根，所以，

由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，

得，即，

又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，-m），

从而，

，

，

所以；

（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4），

由得，

所以抛物线在点A处切线的斜率为，

设圆C的方程是，

则，

解之得，

所以圆C的方程是，即。

（I）由题意可设抛物线的方程为x2=2py（p≠0）．

因为点A（a，4）在抛物线上，所以p＞0．

又点A（a，4）到抛物线准线的距离是5，所以+4=5，可得p=2．

所以抛物线的标准方程为x2=4y．

（II）点F为抛物线的焦点，则F（0，1）．

依题意可知直线MN不与x轴垂直，

所以设直线MN的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.

因为MN过焦点F，所以判别式大于零．

设M（x1，y1），N（x2，y2）．

则x1+x2=4k，x1x2=-4．

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1)).

由于x2=4y，所以y′=x.

切线MT的方程为y-y1=x1(x-x1)，①

切线NT的方程为y-y2=x2(x-x2).②

由①，②，得T(，)

则=T(，-1)=(2k，-2)

所以•=0.

（III）证明：||2=(2k)2+(-2)2=4k2+4.

由抛物线的定义知||=y1+1，||=y2+1.

则||•||=(y1+1)(y2+1)=(kx1+2)(kx2+2)

=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=4k2+4．

所以||2=||•||.

即||是||和||的等比中项．