- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
如图：直线y=
（1）求点Q的坐标；
（2）当点P为抛物线上且位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值。
正确答案
解：（1）联立
解得
即A（-4，-2），B（8，4）
∵
∴QM⊥AB
又
∴M是AB的中点，即M（2，1）
∴l是线段AB的垂直平分线
又kAB=
∴l的方程为y-1=-2（x-2），
即2x+y-5=0，令y=-5，得x=5，
∴Q=（5，-5）。
（2）直线OQ的方程为：x+y=0
由题意可设P
则点P到直线OQ的距离为：
又
∴
其中x∈[-4，8]，且O、P、Q不共线，
令f（x）=（x+4）2-48，
则当x∈[-4，8]时，函数f（x）单调递增
又当x=-4时，|x2+8x-32|=48，
当x=8时，|x2+8x-32|=96
∴当x=8时，（S△QPO）max=
已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知
正确答案
解：（1）设点P（x，y），则Q（-1，y）
由
（x+1，0）·（2，-y）=（x-1，y）·（-2，y），
化简，得C：y2=4x。
（2）设直线A的方程为x=my+1（m≠0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），又
联立方程组
故
由
整理，得
∴
已知点M(1，y)在抛物线C：y2=2px(p＞0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y=-
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
(3)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．
正确答案
解：(1)抛物线y2=2px(p＞0)的准线为
由抛物线定义和已知条件可知
故所求抛物线方程为y2=4x。
(2)联立
依题意应有Δ=64+32b＞0，解得b＞-2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=-8，y1y2=-8b，
设圆心Q(x0，y0)，则应有
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆的半径为r=|y0|=4，
又|AB|=
所以
所以x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16=
所以圆心坐标为
故所求圆的方程为
(3)因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，
又l与抛物线C交于两点，由(2)知b＞-2，所以-2＜b＜0，
直线l：
点O到直线l的距离
所以
令g(b)=b3+2b2，-2＜b＜0，
当b变化时，g′(b)、g(b)的变化情况如下表：
由上表可得g(b)的最大值为
所以当
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点。
（1）如果直线l过抛物线的焦点，求
（2）如果
正确答案
解：（1）由题意：抛物线焦点为（1，0），
设l：x=ty+1，代入抛物线y2=4x，
消去x得y2-4ty-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=4t，y1y2=-4，
∴
（2）设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x，消去x得y2-4ty-4b=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=4t，y1y2=-4b，
∴
令b2-4b=-4，
∴b2-4b+4=0，
∴b=2，
∴直线l过定点（2，0）
∴若
已知定点F(0，1)和直线l1：y=-l，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．
(Ⅰ)求动点C的轨迹方程；
(Ⅱ)过点F的直线l2交轨迹于两点P，Q，交直线l1于点R，求
正确答案
解：(Ⅰ)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
所求轨迹的方程为x2=4y。
(Ⅱ)由题意直线l2的方程为y=kx+l，与抛物线方程联立，消去y，得x2-4kx-4=0，
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1+x2=4k，x1x2=-4，
因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为
∵
∴
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