直线与抛物线的位置关系
共364题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知S，P（非原点）是抛物线y=x2图象上不同两点，在点P处的切线分别交x轴，y轴于Q，R两点。

（1）若，求λ的值；

（2）若，求△SPR的面积的最小值。

正确答案

解：（1）设，则PR所在直线方程为：

令得

∴

∴即λ的值为。

（2）由（1）知SP所在的直线方程为

联立

得

设与y轴交于T，则

而

只需考察当t＞0时的最小值

而

令，经判断当时

取得最小值

同理当时，f（t）的最大值为

∴的面积的最小值为。

题型：简答题

简答题

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F引直线l交C于A、B两点，O是坐标原点，

（1）求·的值；

（2）若，且，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由已知得F点坐标为（1，0），

当l的斜率存在时，设其方程为，

由，　　①

设，，

则， ②

由①得，代入②得；

当l的斜率不存在时，同样有；

综上可知，。

（2）由F、A、B三点共线知，

又，解得或；

当l的斜率不存在时，不符题意；

当l的斜率存在时，若，

由①及知，

消去x1，x2得或，

当时无解；

当，解得；

若，同样可得；

故直线l的方程为．

题型：简答题

简答题

已知点M（4，0），N（1，0），若动点P满足，

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若，求直线l的斜率的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）设动点P（x，y），

则，

由已知得，

化简得，，得，

所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为。

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，

不妨设过N的直线l的方程为y=k（x-1），

设A，B两点的坐标分别为，

由消去y得，

因为N在椭圆内，所以△＞0，

所以，

因为

，

所以，解得，

所以。

题型：简答题

简答题

已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量，满足|+|=|-|，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．

（1）证明线段AB是圆C的直径；

（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值．

正确答案

（1）∵向量，满足|+|=|-|，

∴(

) 2=(

) 2

即

2+2•+

2-2•+

整理得•=0

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）

∴=（x1，y1），=（x2，y2）

∴x1x2+y1y2=0①

设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，

则•=0

即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0

展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0

故线段AB是圆C的直径．

（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），

则x=，y=

∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），

∴x1x2=

又∵x1x2+y1y2=0

∴x1x2=-y1y2

∴-y1y2=

∴y1y2=-4p2

∴x==（y12+y22）

=（y12+y22+2y1y2）-

=（y2+2p2）

∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则

当y=p时，d有最小值，

由题设得=

∴p=2

题型：简答题

简答题

过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M1、N1。

（1）当时，求证：AM1⊥AN1；

（2）记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S2成立。若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由

正确答案

解：依题意，可设直线MN的方程为，，则有

由消去x可得

从而有 ①

于是 ②

又由，，可得

③

（1）如图，当时，点即为抛物线的焦点，l为其准线

此时，并由①可得

∵

∴

即。

（2）存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：

记直线l与x轴的交点为A1，则。

于是有

∴

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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