- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点的距离为5，
（1）求p，m的值；
（2）过焦点且斜率为1的直线L交抛物线于A，B两点，求线段AB的长。
正确答案
解：（1）抛物线的焦点是
解得
所以，抛物线的方程为
所以
（2）设
联立
所以
设直线ay=x-2与抛物线y2=2x交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心），试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求a的值，使圆H的面积最小。
正确答案
解：设
消去x得
因此
故O必在圆H的圆周上，
又由题意圆心H
故
由前已证，OH应是圆H的半径，且
从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小。
已知直线l：y=x+m，m∈R，
(Ⅰ)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(Ⅱ)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由．
正确答案
解：(Ⅰ)依题意，点P的坐标为(0，m)，
因为MP⊥l，所以
解得m=2，即点P的坐标为(0，2)，
从而圆的半径
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8。
(Ⅱ)因为直线l的方程为y=x+m，
所以直线l′的方程为y=-x-m，
由
(1)当m=1，即Δ=0时，直线l′与抛物线C相切；
(2)当m≠1，即△≠0，直线l′与抛物线C不相切；
综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l与抛物线C不相切。
过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．求△AOB的重心G的轨迹C的方程．
正确答案
抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-1），代入y2=4x，
得k2x2-x（2k2+4）+k2=0．
设l方程与抛物线相交于两点，
∴k≠0．设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
根据韦达定理，有x1+x2=
从而y1+y2=k（x1+x2-2）=
设△AOB的重心为G（x，y），
消去k，得x=
则x=
∴y2=
当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，-2），△AOB的重心G（
因此所求轨迹C的方程为y2=
已知F是抛物线y2=4x的焦点，Q是抛物线的准线与x轴的交点，直线l经过点Q。
（1）若直线l与抛物线恰有一个交点，求l的方程；
（2）如图所示，直线l与抛物线交于A、B两点，记直线FA、FB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值。
正确答案
解：依题意得：Q（-1，0），直线l的斜率存在，设其斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），代入抛物线方程得：
（1）若k≠0，令Δ=0得，k=±1，
此时直线l的方程为y= x+1或y=-x-1
若k=0，易知满足题意，故直线l的方程为y=0。
（2）显然k≠0
记
则
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