- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
已知椭圆
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（Ⅱ）过F2作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点。
正确答案
解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距
所以椭圆的焦点为
又抛物线C的焦点为
设
代入抛物线C得
∴
∴
∴
（Ⅱ）设AB的方程为x=ty+1，代入
设
所以
由两点式得FN的方程为
当y=0时，x=3，所以直线FN恒过定点（3，0）。
如图，A（-1，0），B（1，0），过曲线C1：y=x2-1（|x|＜1）上一点M的切线l，与曲线C2：y=
（1）用t表示m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求此时MN所在直线的方程。
正确答案
解：（1）切线
代入
化简并整理得，
由
得m=0或
若m=0，代入（*）式得
若
且
综上，
（2）因为，
若∠MAB=∠NAB，则
故当实数m=9时，∠MAB=∠NAB，
此时，
易得M（2，3），
所以，此时MN所在直线的方程为y=4x-5。
抛物线P：x2=2py上一点Q（m，2）到抛物线P的焦点的距离为3，A、B、C、D为抛物线的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D（x0，y0）， B（x1，y1）， C（x2，y2），-x0＜x1＜x0＜x2，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线。
（1）求p的值；
（2）证明：∠BAC的角平分线在直线AD上；
（3）如果点D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m+n=
正确答案
解：（1）∵|QF|=3=2+
∴p=2。
（2）抛物线方程为
A（
∵
∴
∴
∵
∴
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，
所以
所以
（3）设
∴
∵
∴
∴
即
把
∴
∴
同理可得
∵
∴
∴
∴
∴
∴
如图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，
y1），B（x2，y2），
（Ⅰ）求该抛物线上纵坐标为
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求
正确答案
解：（Ⅰ）当
又抛物线
由抛物线定义得，所求距离为
（Ⅱ）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
由
相减得
故
同理可得
由PA，PB倾斜角互补知
即
所以
设直线AB的斜率为kAB，
由
相减得
所以
将
所以kAB是非零常数。
已知抛物线C：x2=2py（p>0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）过坐标平面上的点F'作抛物线C的两条切线l1和l2，分别交x轴于A，B两点。
（i）若点F'的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或抛物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明。
正确答案
解：（1）由抛物线的定义，得
故抛物线C的方程为x2=4y。
（2）（i）依题意知，过点F'（0，-1）且与曲线C相切的直线的斜率存在，设其方程为y=kx-1，
由
令Δ=0得k=±1
故所求的两条切线分别为l1：y=x-1；l2：y=-x-1
设l1交x轴于点A，l2交x轴于点B
由
由
设△ABF'的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则
解得
故△ABF的外接圆方程为x2+y2=1，它过点F（0，1）。
（ii）命题：设F'为抛物线x2=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l1，l2，分别交x轴于A，B两点，则△ABF'的外接圆过此抛物线的焦点F，
证明：设l1，l2分别切抛物线x2=2py于P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则x1≠0，x2≠0
∵y'=
由
由
由
AB的垂直平分线方程为
AF′的垂直平分线方程为
它们的交点为
又
故AF的中点为
所以
∴
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