热门试卷

解：（1）设S（x，y），根据题意，

|ST|2=|SC|2=22+|y|2，

即。

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

所以

则PA：，即

设P（t，t-2），P在PA上

同理，P在PB上

故x1，x2是方程

的两根，

故恒过点（2，2）。

（3）证明：过点M所作垂线l1的方程为y-2=-（x-2）x+y-4=0，解出垂足N（3，1）

MN的斜率为-1，故倾斜角为

若AN，BN的斜率均存在，则设其分别为k1，k2，

对应的倾斜角分别为α，β，

要证MN是∠ANB的平分线，只要证∠ANM=∠BNM，

即，

即要证k1k2=1

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y= k（x-2）+2代入x2=4y，

得x2-4kx+8k-8=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=8k-8

y1+y2=k（x1-2）+2+k（x2-2）+2 =4k2-4k+4，②

将②，③代入①，得

当时，k1k2=1，当时，解得A，B两点的坐标分别为（-2，1），，

验证AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，

即∠ANM=∠BNM，

即MN是∠ANB的平分线。

解：（1）准线方程为l：，点M到l的距离设为d，

由抛物线定义，，所以p=2，

所以y2=4x。

（2）设，

由题意知直线l的斜率k存在且不等于0，

设l：y=k（x-1），则P（0，-k），

由知，

∴，

∵k≠0，∴，

将y=k（x-1）代入y2=4x得，

，

∴，

∴为定值。

解：（1）如图，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

∵

∴

∴，即

另一种情况（如图2），即点M和A位于OP的同侧

因为MQ为线段OP的垂直平分线

∴

又∵

∴

因此M在x轴上，此时，记M（x，0），设P（-2，a）为l上任意点（a∈R）

由即得

∴点M（x，0）的轨迹方程为y=0，x≤-1②

综合①②得，点M的轨迹E的方程为；

（2）由（1）知，轨迹E的方程由E1和E2两部分组成

当时，过T做垂直于L的直线，垂足为T′，交E1于点

再过H做垂直于L的直线，交l于H

∴

∴（该等号仅当H′与T′重合（或H与D重合）时取得）

当时，则

综合可得的最小值为3，此时点H；

（3）由图3可知，直线l1的斜率k不可能为0

设

∴，代入E1的方程得

∴

∴l1与E中的E1有且仅有两个不同的交点

又由E2和l1的方程可知，若l1与E2有交点

则此交点的坐标为，且，即当时l1与E2有唯一交点

从上可知l1与E有三个不同的交点

∴直线l1斜率k的取值范围是。

解：（1）因为点M在x轴上，令y=0代入，解得x=-2，

所以M（-2，0），

所以抛物线C：的准线为x=-2=，

所以m=8

所以抛物线C的方程为。

（2）由消去x得

，

∴

∴，

∴AB的中垂线方程为

令y=0得

∵

∴。

（3）∵抛物线焦点F（2，0），准线x=-2

∴x=-2是Q的左准线

设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（x，±y）

①若F为左焦点，则c=x-2＞0，b=|y|

∴a2=b2+c2=（x-2）2+y2

依左准线方程有，

∴

即y2=4（x-2） （x＞2） ；

②若F为右焦点，则0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|

∴a2=b2+c2=（2-x）2+y2

依左准线方程有

即

化简得2x2-4x+y2=0

即（0＜x＜2，y≠0）。