直线与抛物线的位置关系
共364题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知半圆x2+y2=4(y≥0)，动圆与此半圆相切且与x轴相切，

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；

(Ⅱ)是否存在斜率为的直线l，它与(Ⅰ)中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A，B，C，D四点，且满足|AD|=2|BC|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

解：(Ⅰ)设动圆圆心为M（x，y），作MN⊥x轴交x轴于N，

若两圆外切，|MO|=|MN|+2，

所以，，

化简，得；

若两圆内切，|MO|=2-|MN|，

所以，；

化简得x2=-4(y-1)(y＞0)；

综上，动圆圆心的轨迹方程为x2=4(y+1)(y＞0)及x2=4(y+l) (y＞0)，

其图象是两条抛物线位于x轴上方的部分，作简图，如下图所示：

。

(Ⅱ)设直线l存在，其方程可设为，

依题意，它与曲线x2=4(y+1)(y＞0)交于A，D，与曲线x2=-4（y -1）(y＞0)交于 B，C，

由于，得3x2-4x-12b-12=0及3x2+4x+12b-12=0，

，

∴，

即，

解得：，

把代入方程，得，

因为曲线x2=4(y+l)中横坐标范围为(-∞，-2)∪(2，+∞)，所以这样的直线不存在。

题型：简答题

简答题

已知点A（1，0），定直线：x=-1，B为上的一个动点，过B作直线，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点N（4，0）作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P，Q，求证：OP⊥OQ（O为坐标原点）。

正确答案

（1）解：由已知|MA|=|MB|，

∴M的轨迹为以A为焦点，为准线的抛物线，

∴M的轨迹方程为。

（2）证明：当h⊥x轴时，h：x=4，

由，得，

此时，P（4，4），Q（4，-4）；

当h与x轴不垂直时，设：y=k(x-4)，

由，得，

∴，，

∴，

∴。

题型：简答题

简答题

已知顶点在原点O，准线方程是y=-1的抛物线与过点M（0，1）的直线交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1。

（Ⅰ）求此抛物线的标准方程；

（Ⅱ）求直线的方程；

（Ⅲ ）求直线与抛物线相交弦AB的弦长。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可知抛物线焦点在y轴正半轴，

设抛物线的标准方程为，

由准线方程是y=-1，可得p=2，

所以抛物线的标准方程为。

（Ⅱ）设直线的方程为：y=kx+1，

代入抛物线的标准方程，消y整理得，

设，，

则， ①

因为，，代入①，

得， ②

因为，，代入②得k=1，

所以直线的方程为：y=x+1。

（Ⅲ）将直线方程与抛物线的标准方程联立得：，

消y整理得，

因为，，

∴。

题型：简答题

简答题

如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，

（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知条件，可设抛物线的方程为，

点P（1，2）在抛物线上，

∴，得p=2，

故所求抛物线的方程是，准线方程是x=-1；

（Ⅱ）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，

则，

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，

∴，

由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，

得，（1）

，（2）

∴，

由（1）-（2）得直线AB的斜率。

题型：简答题

简答题

已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，

（1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值。

正确答案

解：（1）直线AB的方程是，与y2=2px联立，从而有，

所以：，

由抛物线定义得：，所以p=4，

所以，抛物线的方程为：。

（2）由p=4，，化简得，

从而，

从而A：(1，-2)，B(4，4)，

设，

又，即8（4λ+1），

即，解得λ=0或λ=2。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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