- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，点C在直线上。
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设过定点F，法向量
正确答案
解：（1）动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1：的距离相等，所以M的轨迹是以点f为焦点，直线l为准线的抛物线，轨迹方程为
（2）由题意，直线AB的方程为4x-3y-4=0
故A、B两点的坐标满足方程组
得A（4，4），B（
设C（-1，y），则
由
抛物线y2=2px（p＞0）的一条弦AB过焦点F，且|AF|=1，
正确答案
y2=x
已知在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D的极坐标是（1，
（1）求点D的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；
（2）若经过点D的直线l与曲线C交于A、B两点，求|DA|·|DB|的最小值。
正确答案
解：（1）点D的直角坐标是
∵
∴
即
化简得曲线C的直角坐标方程是
（2）设直线l的倾斜角是α，则l的参数方程变形为
代入
得
设其两根为t1，t2
则
∴
当α=90°时，
已知抛物线C：y2=2px（p>0）过点A（1，-2）。
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于
正确答案
解：（I）将（1，-2）代入y2=2px，得（-2）2=2p·1
所以p=2
故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1；
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t
由
因为直线l与抛物线C有公共点，所以△=4+8t≥0，解得t≥
另一方面，由直线OA与l的距离
可得
解得t=±1
因为
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0。
已知椭圆C1：
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，
直线AB的方程为：x=1，
从而点A的坐标为（1，
因为点A在抛物线上，
所以
此时C2的焦点坐标为（
（Ⅱ）假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，
由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1），
由
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=
由
因为C2的焦点
所以
代入②有
由于x1，x2也是方程③的两根，
所以x1+x2=
从而
又AB过C1、C2的焦点，
所以
则
由④、⑤式得
解得
因为C2的焦点
所以
∴
由上知，满足条件的m、p存在，且
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