直线与抛物线的位置关系
共364题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知抛物线x2=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M。

（1）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

（2）设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值。

正确答案

解：（1）由已知得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，

可设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），，

由得，显然△＞0，

∴，

由得，

∴，直线AM的斜率为，

直线AM的方程为直线，

化简得AM的方程为，

同理可得直线BM的方程为，

两式相减得，即A、M、B三点的横坐标成等差数列。

（2）由（1）知y=-1，点M的坐标为（2k，-1），，

则直线MF的方程为：，

设，由得：，显然△＞0，

∴，∴，，

，

∴AB⊥AC，

，

当且仅当k=±1时，四边形ACBD的面积有最小值32。

题型：简答题

简答题

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线x=--1(p是正常数)的距离为d1，到点F（，0）的距离为d2，且d1-d2=1，

(1)求动点P所在曲线C的方程；

(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线l1：x=-的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证=0；

(3)记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的点)，，求λ的值．

正确答案

解：(1) 设动点为P（x，y），

依据题意，有，化简得，

因此，动点P所在曲线C的方程是：．

(2) 由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意；

故可设直线l：x=my-1，如图所示，

联立方程组，可化为，

则点的坐标满足，

又AM⊥l1、BN⊥l1，可得点、，

于是，，，

因此．

(3)依据(2)可算出，，，

，

所以，即为所求．

题型：简答题

简答题

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1，b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点，

（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标；

（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2-4y2=1上；

（3）若动点P(a，b)满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由。

正确答案

解：（1）当a=1，b=2，p=2时，

解方程组，

即点Q的坐标为（8，16）；

（2）由方程组，即点Q的坐标为，

∵P是椭圆上的点，即，

，

因此点Q落在双曲线上。

（3）设Q所在的抛物线方程为，

将代入方程，得，

当c=0时，，此时点P的轨迹落在抛物线上；

当，此时点P的轨迹落在圆上；

当，此时点P的轨迹落在椭圆上；

当qc＜0时，，此时点P的轨迹落在双曲线上。

题型：简答题

简答题

已知抛物线x2=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M。

（1）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

（2）设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值。

正确答案

解：（1）由已知得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，

可设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），，

由得，显然△＞0，

∴，

由得，

∴，直线AM的斜率为，

直线AM的方程为直线，

化简得AM的方程为，

同理可得直线BM的方程为，

两式相减得，即A、M、B三点的横坐标成等差数列。

（2）由（1）知y=-1，点M的坐标为（2k，-1），，

则直线MF的方程为：，

设，由得：，显然△＞0，

∴，

又

，

∴AB⊥AC，

，

当且仅当k=±1时，四边形ACBD的面积有最小值32。

题型：简答题

简答题

对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn，交抛物线于另一点。

（1）试证：；

（2）取，并为抛物线上分别为与为切点的两条切线的交点，求证。

正确答案

证明：（1）焦点为（0，1），

设直线AnBn的方程为：，

联立，消去y，得

，

∴。

（2）由，则，

∴在An处的切线方程为，

即， ①

同理：在Bn处切线方程为：， ②

两式相减，得，

代入（1）中结论，得y=-1，

∴，

即，

∴

。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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