- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点。
（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的张长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。
正确答案
解：（1）依题意，点N的坐标为
直线AB的方程为
由韦达定理得
于是
∴当
（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为
设AC的中点为
则
∵
∴
∴
令
其方程为
即抛物线的通径所在的直线。
已知抛物线C的方程为x2=4y，直线y=2与抛物线C相交于M、N两点，点A，B在抛物线上。
（1）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为
（2）若直线AB的斜率为
正确答案
解：（1）设
∵
所以直线BM的斜率为-k
可求得
则直线AM的方程为
代入
∵
∴
同理
（2）若直线的斜率为
∴
∴
∴
故点N到直线
已知抛物线C的方程为y2=2x，焦点为F，过抛物线C的准线与x轴的交点的直线为l。
（1）若直线l与抛物线C交于A、B两点，且|FA|=2|FB|，求k的值；
（2）设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆（x- 1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值。
正确答案
解：（1）由题意可知，
设直线l为
A（x1，y1），B（x2，y2）
由|FA|=2|FB|，得
即
由
得
故
解由①②③构成的方程组得x1=1，
又由Δ=（k2-2）2-k4=4-4k2>0，得-1＜k＜1且k≠0，
故所求得的k值适合，
因此所求的k值为
（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b>c，
∴直线PR的方程为（y0-b）x-x0y+x0b=0
∵圆（x-1）2+y2=1内切于△PRN，
∴圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
即
化简得（x0-2）b2+ 2y0b-x0=0，
同理可得（x0-2）c2+2y0c-x0=0，
由题意可知x0>2，
所以b、c为方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根
∴
∴
∴
当且仅当x0=4时取等号，
所以△PRN面积的最小值为8。
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
正确答案
解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足
化简为y2=4x（x>0）；
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为 A（x1，y1），B（x2，y2）
设l的方程为
由
得
又
又
由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2， ④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于
即
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
已知抛物线方程为y2=4x，过Q(2，0)作直线l，
(1)若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E(m，0)，使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
(2)若l与x轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和l分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长
|MT|为定值，试证之．
正确答案
解：(1)设l的方程为：y=k(x-2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
若∠AEQ=∠BEQ，则kAE+kBE=0，
即
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ。
(2)设P(x0，y0)在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y0＞0，
则过P点的切线斜率
切线方程为：
令x=0
令x=2
∴
则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′
∴
∴|MT|=
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