直线与抛物线的位置关系
共364题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知抛物线，过点任意作一条直线交抛物线于两点，为坐标原点.

（1）求的值；

（2）过分别作抛物线的切线，试探求与的交点是否在定直线上，并证明你的结论.

正确答案

解：(Ι)设直线方程为，

消去得，

所以

故.

（Π）

方程为

整理得

同理得方程为；

联立方程

得，

故的交点的纵坐标等于.

题型：简答题

简答题

已知抛物线y2=4a（x+a）（a＞0），过原点O作一直线交抛物线于A、B两点，如图所示，试求|OA|·|OB|的最小值。

正确答案

解：设直线AB的参数方程为（t为参数）

代入y2=4a（x+a）中得：t2sin2α-4atcosα-4a2=0

∴|OA||OB|=|t1t2|=≥

当时，|OA||OB|取最小值。

题型：简答题

简答题

已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．

①当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

②过点R（2，1）作直线l与轨迹C交于A，B两点，使得R恰好为弦AB的中点，求直线l的方程．

正确答案

解：①设点M（x，y），

由，得，，

由，得，

所以y2=4x．

又点Q在x轴的正半轴上，得x＞0．

所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

②方法一：设直线l：y=k（x﹣2）+1，其中k≠0，

代入y2=4x，整理得k2x2﹣（4k2﹣2k+4）x+（2k﹣1）2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

由，解得：k=2．

所以，直线l的方程为y=2（x﹣2）+1，即：y=2x﹣3．

方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

两式相减得：．

整理得：，

因为R（2，1）为弦AB的中点，

所以y1+y2=2，

代入上式得，即kAB=2．

所以，直线l的方程为y=2（x﹣2）+1，即：y=2x﹣3

题型：简答题

简答题

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；

（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（﹣2，0）及AB的中点，求直线 l 在y轴上的截距b的取值范围．

正确答案

解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx﹣y=0．

∵该直线与圆相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．

设双曲线C的方程为，

∵双曲线C的一个焦点为，

∴2a2=2，a2=1．∴双曲线C的方程为x2﹣y2=1．

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|；

若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．

根据双曲线的定义，|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是

． ①

由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT，yT），则

代入①并整理，得点N的轨迹方程为．

（3）由．

令f（x）=（1﹣m2）x2﹣2mx﹣2，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0 在（﹣∞，0）上有两个不等实根，

因此．又AB的中点为，

∴直线L的方程为．

令x=0，得．∵，

∴．

∴故b的取值范围是．

题型：简答题

简答题

设F是抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点，过F且与抛物线G的对称轴垂直的直线被抛物线G截得的线段长为4。

（Ⅰ）求抛物线G的方程；

（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF、BF分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值。

正确答案

解：（I）∵抛物线G的焦点为，

∵直线与G的交点为，

∴依题意可得，

∴p=2，

∴抛物线G的方程为；

（II）设，

由题意知，直线AC的斜率k存在，且，

∵直线AC过焦点F（1，0），

所以直线AC的方程为，

∵点A，C的坐标满足方程组

∴消去y得：，

由根与系数的关系得：

∴

，

因为，

所以BD的斜率为，从而BD的方程为，

同理，可以求得：，

∴，

当且仅当时，等号成立，

所以，四边形ABCD面积的最小值为32。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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