- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30°处，|OP|=10千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）
正确答案
（1）过点O作准线的垂线，垂足为A，以OA所在直线为x轴，OA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系…（2分）
由题意得，
所以，抛物线C：y2=1.6x…（6分）
（2）设抛物线C的焦点为F由题意得，P(5，5
根据抛物线的定义知，公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…（12分）
当Q为线段PF与抛物线C的交点时，公路总长最小，
最小值为9.806千米…（16分）
如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A，
(Ⅰ)求实数b的值；
(Ⅱ)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
正确答案
解：(Ⅰ)由
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=(-4)2-4×(-4b)=0，解得b=-1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知b=-1，
故方程(*)即为x2-4x+4=0，解得x=2，
代入x2=4y，得y=1，故点A(2，1)。
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即r=|1-(1)|=2，
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4。
求抛物线y2=64x 上的点到直线4x+3y+46=0 的距离的最小值，并求取得最小值时该点的坐标，
正确答案
解：设P(x0 ，y0) 是抛物线上的点，
则
∴当y0=-24，x0=9时，d有最小值2．
∴抛物线上的点到直线的最小距离等于2，此时该点坐标为（9，-24）．
如图，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
正确答案
证明：设直线AB 的方程为
A（x1，y1），B(x2，y2)，
联立方程组，得
消去x，得
∴
又∵
当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA=kOC，所以AC经过原点O．
设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一个动点，
正确答案
解：由题意设
得
∴A（
∴
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