- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
已知抛物线y2=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；
（Ⅱ）求△ANB面积的最小值；
（Ⅲ）当点M的坐标为（m，0）（m＞0，且m≠1）．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线NA，NB的斜率是否互为相反数？
②△ANB面积的最小值是多少？
正确答案
解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴y1y2=-4∵N（-1，0）
=
又当l垂直于x轴时，点A，B关于x轴，显然kNA+kNB=0，kNA=-kNB．
综上，kNA+kNB=0，kNA=-kNB．
（Ⅱ）
=
当l垂直于x轴时，S△NAB=4．
∴△ANB面积的最小值等于4．
（Ⅲ）推测：①kNA=-kNB；
②△ANB面积的最小值为
解析
解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴y1y2=-4∵N（-1，0）
=
又当l垂直于x轴时，点A，B关于x轴，显然kNA+kNB=0，kNA=-kNB．
综上，kNA+kNB=0，kNA=-kNB．
（Ⅱ）
=
当l垂直于x轴时，S△NAB=4．
∴△ANB面积的最小值等于4．
（Ⅲ）推测：①kNA=-kNB；
②△ANB面积的最小值为
已知动点M到点
（I）求动点M的轨迹方程；
（II）设动点M的轨迹为C，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，若y轴正半轴上存在点P使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
正确答案
解：（I）由题知，设M（x，y），则因为点M到点F的距离与它到直线x=-
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D（x0，y0），直线l：
联立
则
∴
∴
令x=0得，
又PA⊥PB，
∴
化简，得yp2-（y1+y2）yp+y1y2+x1x2=0，
即3k6+3k4-4k2-4=0，
（3k4-4）（k2+1）=0，
解得
∴直线l的方程：
解析
解：（I）由题知，设M（x，y），则因为点M到点F的距离与它到直线x=-
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D（x0，y0），直线l：
联立
则
∴
∴
令x=0得，
又PA⊥PB，
∴
化简，得yp2-（y1+y2）yp+y1y2+x1x2=0，
即3k6+3k4-4k2-4=0，
（3k4-4）（k2+1）=0，
解得
∴直线l的方程：
过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线
[ ]
正确答案
已知抛物线y2=8x的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A、B两点，以下结论：
①原点到直线l的距离为；②|AB|=16；③以AB为直径的圆过原点。
其中正确的结论有
[ ]
正确答案
已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（ ）条件
正确答案
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