直线与抛物线的位置关系
共364题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
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题型：简答题

简答题

直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．

（Ⅰ）求实数b的值，及点A的坐标；

（Ⅱ）求过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程．

正确答案

解：（Ⅰ）直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y联立，消去y，可得x2-4x-4b=0．（*）

因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4）2-4×（-4b）=0，解得b=-1；

代入方程（*）即为x2-4x+4=0，解得x=2，y=1，故点A（2，1）．

（Ⅱ）设过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=kx-1．

与抛物线C：x2=4y联立，消去y，可得x2-4kx+4=0，

因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4k）2-4×4=0，解得k=±1，

所以过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=±x-1．

解析

解：（Ⅰ）直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y联立，消去y，可得x2-4x-4b=0．（*）

因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4）2-4×（-4b）=0，解得b=-1；

代入方程（*）即为x2-4x+4=0，解得x=2，y=1，故点A（2，1）．

（Ⅱ）设过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=kx-1．

与抛物线C：x2=4y联立，消去y，可得x2-4kx+4=0，

因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4k）2-4×4=0，解得k=±1，

所以过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=±x-1．

题型：单选题

单选题

若圆（x-3）2+y2=16与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p值为（　　）

正确答案

解析

解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-，

因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，

所以3+=4，

所以p=2．

故选B．

题型：简答题

简答题

图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．

（1）求该拱桥所在抛物线的标准方程；

（2）若在水面上有一宽为2米，高为1.6米的船只能否安全通过拱桥？

正确答案

解：（1）以抛物线的轴为y轴，抛物线的顶点为原点，建立如图所求直角坐标系

设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）

∵抛物线经过点（2，-2）

∴22=-2p•2，得p=1，

即所求抛物线的标准方程为x2=-2y；

（2）宽为2米，高为1.6米的船只能否安全通过拱桥，

即当抛物线上点的横坐标x=1时，是否满足纵坐标y≤-1.6

∵当x=1时，由12=-2y得y=＞1.6

∴该船只不能安全经过抛物线形拱桥．

解析

解：（1）以抛物线的轴为y轴，抛物线的顶点为原点，建立如图所求直角坐标系

设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）

∵抛物线经过点（2，-2）

∴22=-2p•2，得p=1，

即所求抛物线的标准方程为x2=-2y；

（2）宽为2米，高为1.6米的船只能否安全通过拱桥，

即当抛物线上点的横坐标x=1时，是否满足纵坐标y≤-1.6

∵当x=1时，由12=-2y得y=＞1.6

∴该船只不能安全经过抛物线形拱桥．

题型：单选题

单选题

如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，当沿切割线EF切割使剩余部分五边形ABCEF的面积最大时，AF的长度为（　　）米．

正确答案

解析

解：由条件易知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分．以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则p=0.5，易求得边缘线OM所在抛物线的方程为：x2=y…3分

要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为（x0，y0）

则直线EF的方程为：y-y0=2x0（x-x0），

由此可求得点F、E的坐标分别为（0，-x02），

梯形的面积为0.5-×=0.5-

令t=

则=

显然函数t在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，t取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．…12分

此时点E、F的坐标分别为，，

即沿直线EF画线段切割可使五边形ABCEF的面积最大．…13分

题型：简答题

简答题

已知抛物线M：y2=4x，圆F：（x-1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下依次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），T（-1，0）．

（Ⅰ）求|AB|•|CD|；

（Ⅱ）作D关于x轴的对称点M，求证：T，A，M三点共线；

（Ⅲ）作C关于x轴的对称点S，求S到直线l的距离的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）设直线l：x=ty+1，

代入抛物线方程得，y2-4ty-4=0，

设A（x1，y1），D（x2，y2），

则|AF|=x1+1，|DF|=x2+1；

故|AB|=x1，|CD|=x2；

∴|AB|•|CD|=x1x2=；

而y1y2=-4，代入上式可得，

|AB|•|CD|==1；

（Ⅱ）证明：由题意，点M（x2，-y2），

=（1+x1，y1），=（1+x2，-y2），

又∵y1y2=-4，y1+y2=4t，

∴（1+x1）（-y2）-（1+x2）y1

=（2+ty1）（-y2）-（ty2+2）y1

=2ty1y2-2（y1+y2）=0．

故T，A，M三点共线；

（Ⅲ）将直线l：x=ty+1，代入圆的方程，

（1+t2）y2=1，

yC=，xC=1-；

点S（1-，-）到直线l的距离d=，

当t≠0时，

d=≤=1，（当且仅当|t|=1时，等号成立）

故S到直线l的距离的最大值为1．

解析

解：（Ⅰ）设直线l：x=ty+1，

代入抛物线方程得，y2-4ty-4=0，

设A（x1，y1），D（x2，y2），

则|AF|=x1+1，|DF|=x2+1；

故|AB|=x1，|CD|=x2；

∴|AB|•|CD|=x1x2=；

而y1y2=-4，代入上式可得，

|AB|•|CD|==1；

（Ⅱ）证明：由题意，点M（x2，-y2），

=（1+x1，y1），=（1+x2，-y2），

又∵y1y2=-4，y1+y2=4t，

∴（1+x1）（-y2）-（1+x2）y1

=（2+ty1）（-y2）-（ty2+2）y1

=2ty1y2-2（y1+y2）=0．

故T，A，M三点共线；

（Ⅲ）将直线l：x=ty+1，代入圆的方程，

（1+t2）y2=1，

yC=，xC=1-；

点S（1-，-）到直线l的距离d=，

当t≠0时，

d=≤=1，（当且仅当|t|=1时，等号成立）

故S到直线l的距离的最大值为1．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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