直线与抛物线的位置关系_章节学习

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题型：单选题

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单选题

点Q在抛物线y2=4x上，点P（a，0）满足|PQ|≥|a|恒成立，则a的取值范围是（　　）

A（0，2）

B[0，2]

C（-∞，2]

D（-∞，0）

正确答案

C

解析

解：设Q（，t），

由|PQ|≥|a|得（-a）2+t2≥a2，

所以t2（t2+16-8a）≥0，

即t2+16-8a≥0，

故t2≥8a-16恒成立，

所以8a-16≤0，

所以a≤2，

故a的取值范围是（-∞，2]．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，向如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？

正确答案

解：由条件易知边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分

以O为原点，AD所在的直线为y轴，则D（0，）M（），易得边缘线OM所在的抛物线方程为：y=x2（）

要使如图的五边形ABCEF的面积最大，则必有EF所在的直线与抛物线相切，设切点为P（t，t2）则直线EF的方程为y=2t（x-t）+t2即y=2tx-t2由此可求点E，F的坐标分别为E（）F（0，-t2）

∴=

∵

=

显然函数在（0，]上是减函数，在[]上是增函数，

∴当x=时，S△EFD取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．

此时点E，F的坐标分别为E（），F（O，-）

即沿直线EF的线段切割可使五边形ABCEF的面积最大．

解析

解：由条件易知边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分

以O为原点，AD所在的直线为y轴，则D（0，）M（），易得边缘线OM所在的抛物线方程为：y=x2（）

要使如图的五边形ABCEF的面积最大，则必有EF所在的直线与抛物线相切，设切点为P（t，t2）则直线EF的方程为y=2t（x-t）+t2即y=2tx-t2由此可求点E，F的坐标分别为E（）F（0，-t2）

∴=

∵

=

显然函数在（0，]上是减函数，在[]上是增函数，

∴当x=时，S△EFD取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．

此时点E，F的坐标分别为E（），F（O，-）

即沿直线EF的线段切割可使五边形ABCEF的面积最大．

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题型：简答题

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简答题

如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8m，拱圈内水面宽16m．，为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．

（1）一条船船顶部宽4m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？

（2）近日因受台风影响水位暴涨2.7m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽m，在水面以上部分高为4m的船船身应至少降低多少米才能安全通过？

正确答案

解：（1）如图所示，以过拱桥的最高点且平行水面的直线为X轴，最高点O为原点建立直角坐标系（1分）

设抛物线方程为x2=-2py，将点（8，-8）代入得2p=8，

∴抛物线方程是x2=-8y，（4分）

将x=2代入得，8-0.5-0.5=7，

故船在水面以上部分高不能超过7米．（6分）

（2）将代入方程x2=-8y得y=-1，（8分）

此时1+0.5+2.7+4=8.2，

故船身应至少降低0.2米（10分）

解析

解：（1）如图所示，以过拱桥的最高点且平行水面的直线为X轴，最高点O为原点建立直角坐标系（1分）

设抛物线方程为x2=-2py，将点（8，-8）代入得2p=8，

∴抛物线方程是x2=-8y，（4分）

将x=2代入得，8-0.5-0.5=7，

故船在水面以上部分高不能超过7米．（6分）

（2）将代入方程x2=-8y得y=-1，（8分）

此时1+0.5+2.7+4=8.2，

故船身应至少降低0.2米（10分）

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题型：单选题

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单选题

抛物线y=x2（-2≤x≤2）绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是（　　）

A1

B2

C2

D4

正确答案

B

解析

解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，

设正方体AC1的棱长AA1=a，则底面对角线AC=，

所以A点的横坐标等于，代入抛物线y=x2得：，

即A点纵坐标为．

又由题意可知A点纵坐标等于4-a．

所以，解得：a=2．

所以正方体的棱长是2．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为π的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△OPQ的面积等于______．

正确答案

2

解析

解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S=|OF|•|y1-y2|．

直线为x+y-1=0，即x=1-y代入y2=4x得：

y2=4（1-y），即y2+4y-4=0，∴y1+y2=-4，y1y2=-4，

∴|y1-y2|===4，

∴S=|OF|•|y1-y2|=×4=2．

故答案为：2

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