直线与抛物线的位置关系
共364题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
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题型：简答题

简答题

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切．

正确答案

解：不失一般性，设p＞0，q＞0．又设y2=2px的内接三角形顶点为

A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）

因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3

其中y1≠y2，y2≠y3，y3≠y1．

依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，

要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切

因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，

所以原点O不能是所设内接三角形的顶点

即（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），

都不能是（0，0）；又因A1A2与x2=2qy相切，

所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2，y1≠-y2，

直线A1A2的方程是，

∵y22-y12=（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1）．

∴A1A2方程是y=．

A1A2与抛物线x2=2qy交点的横坐标满足

，

由于A1A2与抛物线x2=2qy相切，上面二次方程的判别式

△==0．

化简得2p2q+y1y2（y1+y2）=0（1）

同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即

x2≠x3，y2≠-y3，同样得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0（2）

由（1）（2）两方程及y2≠0，y1≠y3，得y1+y2+y3=0．

由上式及y2≠0，得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行

今将y2=-y1-y3代入（1）式得：2p2q+y3y1（y3+y1）=0（3）

（3）式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，

即A3A1与抛物线x2=2qy相切

所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，

则A3A1也与抛物线x2=2qy相切．

解析

解：不失一般性，设p＞0，q＞0．又设y2=2px的内接三角形顶点为

A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）

因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3

其中y1≠y2，y2≠y3，y3≠y1．

依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，

要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切

因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，

所以原点O不能是所设内接三角形的顶点

即（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），

都不能是（0，0）；又因A1A2与x2=2qy相切，

所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2，y1≠-y2，

直线A1A2的方程是，

∵y22-y12=（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1）．

∴A1A2方程是y=．

A1A2与抛物线x2=2qy交点的横坐标满足

，

由于A1A2与抛物线x2=2qy相切，上面二次方程的判别式

△==0．

化简得2p2q+y1y2（y1+y2）=0（1）

同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即

x2≠x3，y2≠-y3，同样得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0（2）

由（1）（2）两方程及y2≠0，y1≠y3，得y1+y2+y3=0．

由上式及y2≠0，得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行

今将y2=-y1-y3代入（1）式得：2p2q+y3y1（y3+y1）=0（3）

（3）式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，

即A3A1与抛物线x2=2qy相切

所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，

则A3A1也与抛物线x2=2qy相切．

题型：单选题

单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0），Rt△ABC的三个顶点都在抛物线上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高为（　　）

B2p

C4p

正确答案

解析

解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，

可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，-b）；

=（-，c-b），=（-，-b-c）

又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，

即•=0，

变形可得|b2-c2|=4p2，

而斜边上的高即C到AB的距离为|-|==2p；

故选B．

题型：填空题

填空题

过点M（-1，0）的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点，记线段P1P2的中点为P，过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2，l1的斜率为k，则直线l2的斜率与直线l1的斜率之比可表示为k的函数f（k）=______．

正确答案

解析

解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①

把①代入抛物线方程y2=4x，

整理后得到k2x2+（2k2-4）x+k2=0②

因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2-4）2-4k2•k2＞0③

及k≠0．④

解出③与④得到k∈（-1，0）∪（0，1）

现设点P的坐标为（a，b），

则直线L1的斜率k1=，而直线L2的斜率k2=，

∴f（k）=

今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，

由韦达定理及②得x1+x2=（k∈（-1，0）∪（0，1））

∴a=，由此得到f（k）=，

故答案为：f（x）=．

题型：填空题

填空题

如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为______m2．

正确答案

解析

解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=-2py（p＞0），则

将（12，-6）代入可得p=12，∴y=-，

∴该抛物线拱的面积为2（12×6-）=2（72-24）=96m2，

故答案为：96．

题型：简答题

简答题

奥运会的圣火采集器是一个凹面镜，这个凹面镜与其轴截面的交线是一条抛物线，如图1所示，太阳光经凹面镜反射会聚于点火点，把火炬放在点火点处，即可被点燃．已知凹面镜的镜口直径是a，镜深是b．求点火点到凹面镜的顶点的距离．

正确答案

解：建立如图所示的坐标系，则A（b，），

设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

代入A，可得=2pb，

∴=，

∴点火点到凹面镜的顶点的距离为．

解析

解：建立如图所示的坐标系，则A（b，），

设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

代入A，可得=2pb，

∴=，

∴点火点到凹面镜的顶点的距离为．

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