- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围．
正确答案
解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组
判别式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x0=
∵M∈l，∴0=x0+y0=
即b=-
故实数a的取值范围（
解析
解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组
判别式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x0=
∵M∈l，∴0=x0+y0=
即b=-
故实数a的取值范围（
已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（ ）
正确答案
解析
点C到直线AB的距离为：d=
有三角形ABC的面积为2可得：
得：a2+a=0或a2+a-4=0，显然方程共有四个根，
可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）
使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．
故应选：A
（1）求抛物线BD的方程；
（2）根据国家有关规定，高压电缆周围10米内为不安全区域，问当有一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？
正确答案
解：（1）设抛物线BD的方程为y=ax2+bx，则
∵点D（m，n），
∴抛物线在点D处切线的斜率为k=2am+b，
∵AD的斜率为
∴2am+b=
即2am2+bm=n+16，①
∵点D（m，n）在抛物线上，
∴n=am2+bm，②
由①②可得a=
∴抛物线方程为y=
（2）斜坡AC所在直线方程为y=
作直线EF∥y轴且分别与抛物线及AC相交于E，F，则
|EF|=（
∴高压电缆与斜坡AC的垂直距离的最小值为12米，大于11.8米，
∴这根高压电缆不会对这个人的安全构成威胁．
解析
解：（1）设抛物线BD的方程为y=ax2+bx，则
∵点D（m，n），
∴抛物线在点D处切线的斜率为k=2am+b，
∵AD的斜率为
∴2am+b=
即2am2+bm=n+16，①
∵点D（m，n）在抛物线上，
∴n=am2+bm，②
由①②可得a=
∴抛物线方程为y=
（2）斜坡AC所在直线方程为y=
作直线EF∥y轴且分别与抛物线及AC相交于E，F，则
|EF|=（
∴高压电缆与斜坡AC的垂直距离的最小值为12米，大于11.8米，
∴这根高压电缆不会对这个人的安全构成威胁．
从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为______．
正确答案
10
解析
解：设P（x0，y0）
依题意可知抛物线准线x=-1，
∴x0=5-1=4
∴|y0|=
∴△MPF的面积为
故答案为10．
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
正确答案
解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得y2=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
设l的方程为x=ty+m，由
于是
又
又
由①式，不等式③等价于m2-6m+1＜4t2④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1＜0，解得
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
解析
解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得y2=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
设l的方程为x=ty+m，由
于是
又
又
由①式，不等式③等价于m2-6m+1＜4t2④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1＜0，解得
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
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