直线与抛物线的位置关系
共364题

直线与抛物线的位置关系
共364题

热门试卷

题型：简答题

简答题

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）

①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．

正确答案

题型：填空题

填空题

如果关于实数x的方程ax2+=3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为______．

正确答案

将方程ax2+=3x改写为=3x-ax2，令y1=，y2=3x-ax2．

“关于实数x的方程ax2+=3x的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=与y2=3x-ax2的图象在y轴右侧只有一个交点”．

双曲线y1=在第一、三象限内．

当a＞0时，抛物线y2=3x-ax2的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点(，0)，研究知，当a＜2时，双曲线y1=与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．

当a=0时，y2=3x-ax2=3x为直线，此时，双曲线y1=与直线y2=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．

当a＜0时，抛物线y2=3x-ax2的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点(，0)，此时，双曲线y1=与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．

综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．

故答案为：（-∞，0]∪{2}．

题型：简答题

简答题

已知圆的方程为+（y﹣2）2=1，定直线l的方程为y=﹣1．动圆C与圆外切，且与直线l相切．

（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程；

（2）斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线m的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M与另一点Q，记S为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积，求S的值．

正确答案

解：（1）设动圆圆心C的坐标为（x，y），

依题意知点C到（0，2）点的距离与到直线y=﹣2的距离相等，

由抛物线的定义知，动点的C的轨迹方程为=8y．

（2）设点P的坐标为，则以P点为切点的斜率为，

∴直线PQ的斜率为﹣，

所以直线PQ的方程为，

由于该直线经过点A（0，6），

所以有6﹣=﹣4，得．

∵点P在第一象限，所以x0=4，点P坐标为（4，2），

直线PQ的方程为x+y﹣6=0，

联立．解得x=﹣12或4，

∴点Q坐标为（﹣12，18），

∴

=（﹣）|

=（﹣8+24﹣）﹣（﹣72﹣72+72）

=．

题型：简答题

简答题

已知函数y=x2+（2m+1）x+m2-1（m为实数）

（1）m是什么数值时，y的极值是0？

（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．

正确答案

（1）用配方法得：y=(x+)2-∴的极小值为-．所以当极值为0时，4m+5=0，m=-

（2）函数图象抛物线的顶点坐标为(-，-)

即x=-=-m-，y=-=-m-，

二式相减得：-y=，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．

题型：简答题

简答题

如图所示，抛物线y=1-x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元，问如何规划才能使得整块土地总价值最大．

正确答案

由(1-x2)dx=(x-x3)=，知整个地块的面积为…（2分）

设点C的坐标为（x，0），则点B（x，1-x2）其中0＜x＜1，

∴SABCD=2x（1-x2）…（4分）

∴土地总价值y=3a•2x(1-x2)+a[-2x(1-x2)]

=4a•x(1-x2)+a…（6分）

由y'=4a（1-3x2）=0得x=或者x=-(舍去)…（8分）

并且当0＜x＜时，y′＞0，当＜x＜1时，y′＜0

故当x=时，y取得最大值． …（11分）

答：当点C的坐标为(，0)时，整个地块的总价值最大． …（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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