热门试卷

（Ⅰ）直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y联立，消去y，可得x2-4x-4b=0．（*）

因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4）2-4×（-4b）=0，解得b=-1；

代入方程（*）即为x2-4x+4=0，解得x=2，y=1，故点A（2，1）．

（Ⅱ）设过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=kx-1．

与抛物线C：x2=4y联立，消去y，可得x2-4kx+4=0，

因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4k）2-4×4=0，解得k=±1，

所以过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=±x-1．

（1）设抛物线方程为y2=2px，将P（4，4）代入可得p=2，故抛物线方程为y2=4x，…（4分）

（2）由y2=4x可得F（1，0），则直线PF方程为：y=（x-1）

即x=代入y2=4x，得y2=3y+4解得y=4或-1，

故Q的纵坐标为-l，可得Q（，-1），故|PQ|=…（5分）

（3）四边形MPQN是平行四边形…（1分）

下面证明：先求出M的坐标，M的纵坐标为4，故设M（x0，4），

由光线性质知M关于直线的对称点M1在直线QN上，故M1（x1，-1），

则MM1中点（，）在直线上，且MM斜率为-2，得x0+x1-6-17=0，=-2，

解得：M（，4），

所以N（，-1）

所以MN的斜率为==，与PQ斜率相等，

故MN∥PQ，又MP∥QN，故四边形MPQN是平行四边形．…（4分）

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=-1，

显然AB斜率存在且过F（0，1）

设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，

判别式△=16（k2+1）＞0．

x1+x2=4k，x1x2=-4

于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x-x1）+y1，y=（）x2（x-x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo==2k，yo==-1，即M（，-1）

从而，=（，-2），（x2-x1，y2-y1）

•=（x1+x2）（x2-x1）-2（y2-y1）=（x22-x12）-2[（x22-x12）]=0，（定值）命题得证．

这就说明AB⊥FM．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．

|FM|====+．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以

|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2=（+）2．

于是S=|AB||FM|=（+）3，

由+≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．