直线与抛物线的位置关系
共364题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
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题型：填空题

填空题

如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池直径最小为______m．

正确答案

如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py（p＞0），

则P（-1，-1），代入抛物线方程得p=，抛物线x2=-y，代点（x，-2），

得x=，即水池半径最小为r=（1+）m，

水池直径最小为2r=（2+2）m．

故答案为：2+2．

题型：填空题

填空题

已知直线l1：3x-4y-9=0和直线l2：y=-，抛物线y=x2上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______．

正确答案

抛物线y=x2上的准线方程为直线l2：y=-，焦点为（0，）

根据抛物线的定义，可得抛物线y=x2上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值焦点到直线l1：3x-4y-9=0的距离．

由点到直线的距离公式可得d==2．

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C的方程为x2=2py（p＞0），O为坐标原点，F为抛物线焦点，直线y=x截抛物线C所得弦|ON|=4．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线过点F交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，且=a，=b，对任意的直线l，a+b是否为定值？若是，求出a+b的值；否则，说明理由．

正确答案

（1）由，解得O（0，0），N（2p，2p）

∵|ON|=4

∴4p2+4p2=32

∴p=2

∴抛物线C的方程为x2=4y；

（2）显然直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1，l与x轴交于M（-，0）

设l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）

直线与抛物线联立，消元可得x2-4kx-4=0

∴x1+x2=4k，x1x2=-4

由=a，得（x1+，y1）=a（-x1，1-y1），即a=-

同理b=-

∴a+b=-（2+）=-1

∴对任意的直线l，a+b为定值．

题型：简答题

简答题

如图，等腰梯形ABCD中，线段Ab的中点O是抛物线的顶点，DA、AB、BC分别与抛物线切于点M、O、N．等腰梯形的高是3，直线CD与抛物线相交于E、F两点，线段EF的长是4．

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求抛物线的方程；

（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．

正确答案

（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，以O为圆点，建立直角坐标系，则F（2，3），

设抛物线方程为y=ax2，a＞0，

将F（2，3）代入，得a=，

所以，抛物线方程为x2=y，x∈R，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：y=x2，x∈R，y′=x，

设N（x0，y0），过点N的切线方程为y-y0=x0(x-x0)，

令y=0，又y0=x02，∴x=x0，

∴B(x0，0)．

令y=3，又y0=x02，∴x=，

∴C(，3)，

∴S四边形=(+)•3=3(+x0)≥6，

当且仅当=x0，即x0=时，取“=”号，此时N（，），M（-，）．

题型：简答题

简答题

给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．

（Ⅰ）设l的斜率为1，求与夹角的大小；

（Ⅱ）设=λ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

正确答案

（I）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1．

将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，•=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=2x1x2-（x1+x2）+1=-3.||•||=•==

cos＜，＞==-.

所以与夹角的大小为π-arccos．

（II）由题设知=λ得：（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），即

由（2）得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1（3）

联立（1）（3）解得x2=λ．依题意有λ＞0．

∴B（λ，2）或B（λ，-2），又F（1，0），

得直线l的方程为（λ-1）y=2（x-1）或（λ-1）y=-2（x-1）

当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或-

由=+，可知在[4，9]上是递减的，

∴≤≤，-≤-≤-

直线l在y轴上截距的变化范围是[-，-]∪[，]．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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