- 直线与抛物线的位置关系
- 共364题
设P是曲线y2=4（x-1）上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是 ______．
正确答案
y2=4（x-1）的图象是以y轴为准线，（2，0）为焦点的抛物线，∴当点P为（0，1）点与（2，0）点的连线与抛物线的交点时，距离和最小，
最小值为：
故答案为：
一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是km/h，精确到个位）
（参考数据：sin12°=0.2079，cos12°=0.9781，tan12°=0.2125）
正确答案
摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是x=vtcos12°，y=vtsin12°-
其中v是摩托车飞离跑道时的速度，t是飞行时间，x是水平飞行距离，y是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为
y=-
即y=-5.1219
当x≈0.0207v2时，
取得ymax≈0.0022v2．
当x=35时，y落=-6274.3275
∵ymax-y落=10，
某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是______．
正确答案
建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线方程为x2=-2py（p＞0），
∵过定点B（10，-4），
代入x2=-2py，得p=
∴x2=-25y．
当x=2时，y=
∴最长支柱长为4-|y|=4-
故答案为：3.84米．
已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为______．
正确答案
由题意，设C（x0，y0），则⊙C的方程（x-x0）2+（y-y0）2=x02+（y0-p）2．
把y=0和x02=2py0代入整理得x2-2x0x+x02+p2=0．
设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1=x0-p，x2=x0+p．
∴|MN|=|x1-x2|=2p．
∵|CM|=|CN|=
∴cos∠MCN=
∴-1≤cos∠MCN＜1，
∵0＜∠MCN＜π
∴0＜sin∠MCN≤1，
∴sin∠MCN的最大值为1
故答案为：1
已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是______．
正确答案
首先，当x=4时，代入抛物线方程，求得|y|=4
而|a|＞4，说明A（4，a）是在抛物线之外（也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）
抛物线焦点可求得是F（1，0），准线L：x=-1
P在y轴上的射影是M，说明PM⊥y轴，延长PM交L：x=-1于点N，必有：
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到准线L：x=-1的距离！
连接PF
根据抛物线的定义，
可知：抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离！即：|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：
连接|AF|
由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'
1°当P与P'不重合时：A，P，F三点必不共线，三点构成一个三角形APF，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得：
|PF|+|PA|＞|AF|=
2°当P与P'重合时，A，P（P'），F三点共线，根据几何关系有：
|PF|+|PA|=|AF|=
综合1°，2°两种情况可得：
|PF|+|PA|≥
∴（|PF|+|PA|）min=
∴（|PA|+|PM|）min=
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